Respuestas
- Tarea:
¿Cuántos enteros positivos menores o iguales que cien tienen exactamente cuatro divisores positivos?
- Solución:
Los números se clasifican en primos y compuestos. La diferencia entre estos es que los números primos solamente tienen dos divisores: uno y si mismo. Mientras que los compuestos tienen como mínimo un divisor más además de la unidad y si mismo.
Para hallar cuántos números enteros positivos menores o iguales que ceros tienen exactamente cuatro divisores positivos, primero clasificaremos los números del 0 al 100 en primos y compuestos.
El número cero tiene infinitos divisores porque todos los números lo dividen exactamente.
El número uno no es primo ni compuesto porque solamente tiene un divisor: uno.
Los números primos del 2 al 100 son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97.
Los números compuestos son: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 42, 44, 45, 46, 48, 49, 50, 51, 52, 54, 55, 56, 57, 58, 60, 62, 63, 64, 65, 66, 68, 69, 70, 72, 74, 75, 76, 77, 78, 80, 81, 82, 84, 85, 86, 87, 88, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 98, 99 y 100.
Entonces descartamos los números primos, el cero y el uno. Ahora tenemos que ver cuáles de los números compuestos solamente tienen cuatro divisores.
Los números que tienen tres divisores son: 4, 9, 10, 25, 26 y 49.
Los números que tienen cuatro divisores son: 6, 8, 14, 15, 21, 22, 27, 33, 34, 35, 38, 39, 46, 51, 55, 57, 58, 62, 65, 69, 77, 82, 85, 86, 91, 93, 94 y 95.
Los números que tienen más de cuatro divisores son: 12, 16, 18, 20, 25, 28, 30, 32, 36, 40, 42, 44, 45, 48, 50, 52, 54, 56, 60, 63, 64, 66, 68, 70, 72, 74, 76, 78, 80, 81, 84, 88, 90, 92, 96, 98, 99 y 100.
Por ejemplo el número 4 solamente tiene tres divisores: 1, 2 y 4. Estos números lo dividen exactamente:
4 : 1 = 4
4 : 2 = 2
4 : 4 = 1
Por ejemplo el número 6 tiene cuatro divisores: 1, 2, 3 y 6. Estos números lo dividen de manera exacta:
6 : 1 = 6
6 : 2 = 3
6 : 3 = 2
6 : 6 = 1
Por ejemplo el número 12 tiene más de cuatro divisores: 1, 2, 3, 4, 6 y 12. Estos últimos números lo dividen de forma exacta:
12 : 1 = 12
12 : 12 = 1
12 : 2 = 6
12 : 6 = 2
12 : 3 = 4
12 : 4 = 3
Entonces hay 28 números enteros positivos que son menores a cien que tienen exactamente cuatro divisores positivos. Estos números son: 6, 8, 14, 15, 21, 22, 27, 33, 34, 35, 38, 39, 46, 51, 55, 57, 58, 62, 65, 69, 77, 82, 85, 86, 91, 93, 94 y 95.