Question

determinar la ecuación general de la parábola en los siguientes casos : a) v (4,3) f (4,4) b) v (-4,2) directiz y=5​

Answer 1

Respuesta:

A. $x^{2} -8x-4y+28=0$

B. $x^{2} +8x+12y-8=0$

Explicación paso a paso:

No sé si quieras las gráficas pero te las adjunto.

Hay 2 ecuaciones para la parábola

$(x-h)^{2}=4p(y-k)\\ (y-k)^{2}=4p(x-h)$

Se usa la que inicia con X cuando la directriz es y=---- Y se usa la que inicia con Y cuando la directriz es x=----

Para el ejercicio A

Tenemos las coordenadas del vértice y del Foco, entonces ponamosla en la gráfica. En la primera parte de la gráfica ves que V apunta hacia abajo, y hacia adonde apunte V va la directriz. La distancia entre V y La directriz es la misma entre V y F, en este caso es 1.

Entonces hacemos la directriz, obviamente va de manera horizontal para que V apunte hacia ella.

Si una línea está horizontal, tiene como ecuación y=---

Si una línea está vertical, tiene como ecuación x=---

En este caso la directriz está horizontal, y se ubica en y=2. FOTO 1 PUNTO A

Ahora hallemos unos puntos necesarios para poder saber como se abre la parábola, esto para cuando se trabaje a mano. Estos puntos se hacen a los lados de F, y van a una distancia de 2P.

P= Es la distancia absoluta entre V y F

En este caso P es 1, entonces los puntos a los lados de F están alejados 2 porque 2(1)=1 FOTO 2 PUNTO A

Entonces si trabajas a mano, haces una curva que se abre y que pasa por V y los puntos a los lados de F. FOTO 3 PUNTO A

Ahora hallemos otras 2 cosas, el Eje focal y El lado recto

El eje focal es una recta que pasa por V y F y toca a la directriz

El lado recto es un segmento que va de un punto a lado de F hasta el otro punto

FOTO 4 PUNTO A

Ahora reemplazamos

Como tenemos que la Directriz es y=2, usamos la ecuacion que empieza por X

$(x-h)^{2}=4p(y-k)$

Los valores de H y K son las coordenadas de V

V(H,K)

En este caso tenemos que V(4,3)

Entonces H=4, K=3

El valor de P es el vector de VF, es decir que puede ser positivo y negativo, y son los espacios de V a F, es decir, te ubicas en V y cuentas a cuanto está de F,

Si te mueves hacia la derecha o hacia arriba p es positiva

Si te mueves hacia la izquierda o hacia abajo p es negativa

En este caso de V a F debemos subir 1, entonces P es positivo y vale 1

$(x-4)^{2}=4(1)(y-3)$

Resolvemos y pasamos todo a un mismo lado

$x^{2} -8x +16=4y-12$

$x^{2} -8x +16-4y+12=0$

$x^{2} -8x-4y+28=0$ Ecuación general

Quedaría hallar los elementos principales pero no te piden eso así que lo omitimos.

PUNTO B

Nos dicen que la Directriz (Se simboliza con L) es y=5, entonces ya sabemos que usamos la fórmula que empieza por x.

Graficamos también V que es el vértice, o sea la punta de la parábola

FOTO 1 PUNTO B

Ya sabemos que la distancia entre V y L es la misma entre V y F, entonces si de V a L hay 3 espacios, también hay 3 espacios entre V y F.

Ahora hacemos los puntos a los lados de F, que están a l2pl (Las líneas simbolizan que aunque el valor de negativo va a ser positivo siempre)

Recordemos que P, es el vector entre VF, para ir de V a F debemos bajar 3, y como ya vimos, si bajamos en negativo. FOTO 2 PUNTO B

P=-3

Ahora hacemos los puntos a los lados de F que se ubicarían a 6 de distancia y hacemos la curva. FOTO 3 PUNTO B

Ahora para terminar la gráfica dibujamos el Eje focal y el lado recto.

Ahora a hallar la ecuación general

Ya dijimos que usamos la de x

$(x-h)^{2}=4p(y-k)$

Tenemos que V(-4,2), entonces H=-4 K=2

$(x-(-4))^{2}=4(-3)(y-2)$

Rompemos los paréntesis

$(x+4)^{2}=-12(y-2)$

Resolvemos y pasamos todo a un mismo lado e igualamos a 0

$x^{2} +8x +16=-12y+24$

$x^{2} +8x +16+12y-24=0$

$x^{2} +8x+12y-8=0$ Ecuación general

Las fotos están en orden en el documento

2ed45904cbf22d1d74439d8799f42973.pdf