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A.1 Definiciones
A.1.1 Dominio, rango e imagen
Definición A.1. Una función f : A → B es una regla que a cada elemento a de A le
asocia un único elemento de B. Al conjunto A se la llama dominio de la función y a B
se le suele llamar codominio. No hay que confundir el codominio con la imagen de la
función que es conjunto
f(A) =
b ∈ B : ∃ a ∈ A tal que f(a) = b
.
La preimagen de un elemento b de B son aquellos elementos de A cuya imagen es B.
Utilizaremos la siguiente notación
f
−1
(b) =
a ∈ A : f(a) = b
.
Por extensión, también se puede hablar de la preimagen de un conjunto. Si B0 ⊂ B,
la preimagen de B0 es
f
−1
(B0) =
a ∈ A : f(a) ∈ B0
.
La gráfica de la función es el conjunto Gr(f) =
(a, b) ∈ A × B : f(a) = b
.
Observación A.2. La definición de función incluye tres cosas obligatoriamente: el dominio, el codominio y la regla que a cada elemento del dominio le asocia uno del codominio. En ocasiones abusaremos del lenguaje y hablaremos, por ejemplo, de la función
f(x) =
√
x + 1. ¿Qué queremos decir? Sólo tenemos la regla que define la función. ¿Cuáles son su dominio y su codominio? Su dominio natural es el mayor conjunto donde la
definición tiene sentido. En nuestro caso sería {x ∈ R : x ≥ −1} y el codominio es simplemente la imagen de la función. En general y salvo que se diga lo contrario, en ausencia
de un dominio explícito nos referiremos al conjunto donde tiene sentido la definición de
la función.
Ejemplo A.3. Consideremos la función f : [0, 3π] → R definida como f(x) = cos(x).
Explicación paso a paso: