Respuestas
Otra aproximación antigua a este número irracional se da en la antigua India en el texto matemático Baudhaiana-sulba-sutra(entre el 600 y el 300 a. C.) diciendo: Incrementa la longitud [del lado] por su tercera parte, y su tercera por sus tres cuartas y su tercera por su treinta y cuatroava parte de cuatro.4 Esto es
El descubrimiento de la raíz cuadrada de 2 como un número irracional se atribuye generalmente al pitagórico Hipaso de Metaponto, quien fue el primero en producir la demostración (vía demostración geométrica) de la irracionalidad. La historia narra que precisamente descubrió la irracionalidad de la raíz de 2 cuando intentaba averiguar una expresión racional del mismo. Sin embargo Pitágoras creía en la definición absoluta de los números como media, y esto le obligaba a no creer en la existencia de los números irracionales. Por esta razón estuvo ya desde el principio en contra de esa demostración, por esta razón fue sentenciado a la pena capital por sus compañeros pitagóricos.
El matemático griego Teeteto (417 a. C. - 369 a. C) proponía el problema de encontrar el lado de un cuadrado, cuya área sea el doble del área de un cuadrado de lado . Cuya solución conlleva la aparición de la raíz cuadrada de dos.5
Algoritmo computacional[editar]Existen muchos algoritmos empleados para la aproximación de cuadrada de 2. El más común de los algoritmos para averiguar una aproximación en computadores o calculadoras es el denominado método babilónico6 de cálculo de las raíces cuadradas, siendo éste uno de los muchos empleados para el cálculo de raíces cuadradas. Funciona como sigue:
Se toma en primer lugar un valor arbitrario, que denominaremos, ; esta primera aproximación importa poco, es considerada sólo como un punto de comienzo del algoritmo y afecta en cuantas iteraciones debe hacer el algoritmo hasta alcanzar la aproximación con una precisión requerida. Entonces, empleando esta suposición inicial, se procede a iterar mediante la siguiente cómputo recursivo:
Cuanto más iteraciones se hagan mediante este algoritmo (es decir más cálculos con un valor de n grande), se obtendrá una mejor aproximación del valor real de raíz cuadrada de 2.
El valor de √2 ha sido calculado hasta 137 438 953 444 posiciones decimales por el equipo de Yasumasa Kanada en el año 1997. Entre las constantes matemáticas con cifras no periódicas, sólo π ha sido calculado con mayor precisión.7
Pruebas de irracionalidad[editar]Existen varias pruebas de la irracionalidad de √2 basadas en el método del descenso infinito y en el método de reducción al absurdo, que se fundamenta en suponer que √2 es un número racional y llegar, utilizando razonamientos rigurosamente correctos, a una contradicción, lo que hace concluir que la primera suposición tiene que ser falsa.
Prueba geométrica[editar]Se fundamenta en el método del descenso infinito. Es una construcción geométrica clásica de regla y compás, probando el teorema por un modo muy similar a como lo hacían los antiguos geómetras griegos.
Sea ABC un triángulo rectángulo isósceles con hipotenusa de longitud de m y catetos de longitud n. Por el teorema de Pitágoras, n ² + n ² = m ²; 2n ² =m ²; √2 = m/n.
Supongamos que m y n son números enteros.
Trazamos los arcos BD y CE con centro en A. Unimos DE. Se sigue que AB = AD, AC = AE y el ∠BAC y el ∠DAE coinciden. Por lo tanto los triángulos ABC y ADE son congruentes por tener dos lados iguales y el ángulo comprendido también.
Como ∠EBF es un ángulo recto y ∠BEF es la mitad de un recto, BEF es también un triángulo rectángulo isósceles. Se cumple que BE = BF =m − n. Razonando análogamente, FDC es también un triángulo rectángulo isósceles, con catetos DF = DC = m − n, y con hipotenusa FC =n − (m − n) = 2n − m, que son números también enteros y menores a n y m respectivamente. Al ser ABC y FDC dos triángulos semejantes podemos repetir el anterior proceso de forma recurrente. Con las longitudes de las hipotenusas y con las de los catetos de los sucesivos triángulos, obtenemos dos sucesiones de números enteros estrictamente decrecientes que no son finitas, lo cual es imposible porque si n y mson enteros debe existir una fracción irreducible. Esta contradicción nos hace concluir que la suposición de que m y n son números enteros es falsa y que √2 no puede ser una fracción con m y n enteros, por tanto √2 tiene que ser un número irracional.