Question

1. Un cuerpo lanzado con una velocidad inicial de v = 45 m/s y un ángulo de α = 45°. Determinar el tiempo en que el proyectil permanecerá en el aire.

Answer 1

Tema: Movimiento parabólico

Valor a calcular: Tiempo de vuelo

Como base, calculemos la velocidad del componente vertical (Voy), para lo cual:

$\boxed{V_o_y = V_o * sen \angle}$

Reemplazamos y resolvemos:

$V_o_y = 45\text{ m/s * sen } 45\°$

$V_o_y = 45\text{ m/s * 0,070... }$

$V_o_y = 31,81\text{ m/s}$

Calculamos el tiempo de subida, tomando como referencia la velocidad final del componente vertical (Vfy) como cero, puesto que alcanza su punto maximo, tomamos a g, como aceleración:

$\boxed{t = \frac{V_f_y-V_o_y}{g} }$

Reemplazamos y resolvemos (Recordemos que g, tendrá un valor negativo):

$t = \bold{\frac{0m/s-31,81 m/s}{-9,8m/s^{2} } }$

$t = 3,24 \text{ s}$

Y procedemos a calcular el tiempo de vuelo:

$\boxed{T_v=T_s+T_b}$

Y como sabemos, el tiempo de subida es igual al tiempo de bajada:

$\boxed{T_s = T_b}$

Nos queda que:

$T_v = 3,24\ s + 3,24 \ s$

$T_v = 6,48\ s$

Tenemos que el tiempo de vuelo fue de 6,48 segundos.

Answer 2

El tiempo de vuelo es de 6,48 segundos.

Se trata de un problema de tiro parabólico que consiste en una composición de movimientos en dos dimensiones: uno horizontal sin aceleración, y el otro vertical con aceleración constante hacia abajo, debido a la fuerza de gravedad. Ambos movimientos poseen velocidad inicial y son independientes uno del otro.

Para encontrar la posición del proyectil es esencial establecer un sistema de referencia. En donde la velocidad con que se lanza el proyectil formará un ángulo α con la horizontal, que nos permitirá determinar las componentes x e y recurriendo a las relaciones trigonométricas habituales.

Siendo para el eje y

$\boxed {\bold { {V_{y} =V \ . \ sen \ \theta}}}$

Y para el eje x

$\boxed {\bold { {V_{x} =V_{} \ . \ cos \ \theta}}}$

Siendo las ecuaciones del movimiento parabólico

Para el eje y (MRUV)

$\boxed {\bold { {V_{y} =V_{0y} +a_{y} \ . \ t }}}$

$\boxed {\bold { y ={y_{0} +V_{0y} \ . \ t + \frac{1}{2} \ . \ a_{y} \ . \ t^{2} }}}$

$\textsf{Donde } \ \ \ \bold a_{y} = -g$

Para el eje x (MRU)

$\boxed {\bold { x ={x_{0} +V_{x} \ . \ t }}}$

$\textsf{Donde } \ \ \ \bold a_{x} = 0$

Solución:  

Como se trata de una composición de movimientos en donde ambos son independientes

Hallaremos las componentes vertical y horizontal para una $\bold { V_{0} = 45 \ m /s }}$

Velocidad inicial del proyectil sobre el eje y    

$\boxed {\bold { {V_{0y} =V_{0} \ . \ sen \ \theta}}}$

$\boxed {\bold { {V_{0y} = 45\ m/ s \ . \ sen \ 45\° }}}$

$\large \textsf{El valor exacto de sen de 45\° es } \bold {\frac{ \sqrt{2} } { 2 } }}$

$\boxed {\bold { {V_{0y} = 45\ m/ s \ . \ \frac{ \sqrt{2} } {2} }}}$

$\boxed {\bold { {V_{0y} = 31,82\ m/ s }}}$

Velocidad inicial del proyectil sobre el eje x    

$\boxed {\bold { {V_{0x} =V_{0} \ . \ cos \ \theta}}}$

$\boxed {\bold { {V_{0x} = 45\ m/ s \ . \ cos \ 45\° }}}$

$\large \textsf{El valor exacto de cos de 45\° es } \bold {\frac{ \sqrt{2} } { 2 } }}$    

$\boxed {\bold { {V_{0x} = 45\ m/ s \ . \ \frac{\sqrt{2} }{2} }}}$

$\boxed {\bold { {V_{0x} = 31,82\ m/ s }}}$

Cálculo del tiempo de vuelo del cuerpo

El tiempo que tarda el objeto en subir está dado por

$\boxed {\bold {V_{y} \ = \ V_{0y} \ - \ g \ . \ t }}$

Cuando el proyectil alcanza su altura máxima ya no sube más y en ese instante de tiempo su velocidad es cero  $\bold { V_{y} = 0 }}$

$\boxed {\bold {V_{y} = 0 \ = \ V_{0}y \ - \ g \ . \ t_{subida} }}$

$\textsf{Despejando el tiempo que tarda en subir } } }}$

$\large\boxed {\bold {t_{subida} = \frac{V_{0y} }{g} }}$

$\boxed {\bold {t_{subida} = \frac{ 31,82 \ m/s }{9,8 \ m/s^{2} } }}$

$\boxed {\bold {t_{subida} =3,24 \ segundos }}$

$\large\textsf{El tiempo de permanencia en el aire es } } }}$

$\large\boxed {\bold {t_{aire} = 2\ t_{subida} }}$

$\textsf{Reemplazando } } }}$

Si

$\boxed {\bold {t_{subida} = 3,24\ s } }}$    

$\boxed {\bold {t_{aire} = 2 \ . \ (3,24 \ s) }}$

$\large\boxed {\bold {t_{aire} = 6,48\ segundos }}$

El tiempo de vuelo del proyectil es de 6,48 segundos

Aunque el enunciado no lo pide desarrollamos otras preguntas de examen

Altura máxima del proyectil

Sabemos que la altura máxima del proyectil se alcanza a la mitad del tiempo de vuelo. Es decir, para:

$\boxed {\bold { t_{hmax} =\frac{t_v }{2 }= \dfrac{6,48\;s}{2}=3,24 \;s }}}$

Se sustituye este valor en la ecuación de la coordenada y para hallar la altura máxima:    

$\boxed {\bold { y_{max} = {V_{0y} \ . \ t_{hmax} \ +\ \frac{g \ . \ t_{hmax}^{2} }{2} }}}$

$\boxed {\bold { y_{max} = 31,82\;m/s \ . \ 3,24\;s \ + \ \frac{-9,8\;m/s^2 \ . \ (3,24\;s)^{2} }{2} }}}$      

$\boxed {\bold { y_{max} = {103,0968\;m -51,43824\;m }}}$

$\large\boxed {\bold { y_{max} \approx{51,66\;metros }}}$        

La altura máxima que alcanza el proyectil es de 51,66 metros  

Hallando el alcance del proyectil

$\boxed {\bold { x =V_{0x} \ . \ t }}$

$\textsf{Reemplazando }$      

$\boxed {\bold { x = 31,82 \ m/s \ . \ 6,48 \ s }}$

$\large\boxed {\bold { x = 206,76 \ metros }}$

El alcance del proyectil es de 206,76 metros