Question

Un avión que está despegando, lo hace con una velocidad cuya dirección forma un ángulo de 37o con la pista, si su sombra a mediodía se mueve con una rapidez de 300 km/h, calcular la rapidez con que se está elevando el avión.

Answer 1

La rapidez con la que se está elevando el avión es de 375 kilómetros por hora -375 km/h-

Se trata de un problema de razones trigonométricas en triángulos rectángulos.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

Con la salvedad que el triángulo dado resulta ser lo que se llama un triángulo notable.      

¿Qué son los triángulos notables?

Los triángulos notables son triángulos rectángulos que tienen ciertas características establecidas que permiten encontrar los lados de un triángulo sin utilizar el teorema de Pitágoras o las razones trigonométricas.

Los triángulos notables son figuras geométricas que poseen en sus vértices ángulos notables, por lo tanto las magnitudes de sus lados pueden ser calculadas gracias a dichos ángulos notables y estableciendo una relación entre los lados.

Los triángulos notables utilizan proporciones entre las relaciones de los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo. Los lados de un triángulo no se pueden encontrar si se saben sólo los ángulos del triángulo, pero lo que sí se puede definir son las proporciones que los lados tendrán.  

En estos triángulos se utiliza la letra “k” indicando que es una proporción entre sus lados.

Y esa letra k a la vez es una constante, que conocida permite hallar los lados de un triángulo notable con facilidad

Existen varios triángulos notables muy usados y conocidos y sumamente empleados en la resolución de problemas matemáticos, geométricos y sus relacionados. Pero no es la intención de hablar aquí de ellos.

Sólo mencionaremos el que se relaciona con el problema propuesto.

• El cual dentro de los triángulos notables es el llamado 37-53 (por sus ángulos) o 3-4-5 (por sus lados).

• Este triángulo tiene un ángulo de 37° y otro de 53°, donde el lado opuesto al ángulo de 37° medirá 3k y el lado opuesto al ángulo de 53° medirá 4k y la hipotenusa medirá 5k. Donde k es siempre una constante.

Esto se puede observar en al gráfico adjunto, además del planteo  y resolución del ejercicio.

Representamos la situación en un triángulo rectángulo ABC  el cual está conformado por el lado AB que equivale a la altura que alcanzará el avión en el punto A, el lado BC que representa la rapidez de la sombra del avión en su ascenso y el lado AC equivale a la rapidez con la que se está elevando el avión y es a la vez un ángulo de elevación de 37°

Solución

Método 1

Razones trigonométricas con ángulos notables

Conocemos

• Rapidez de la sombra del avión = 300 km/h

• Ángulo de elevación = 37°

• Debemos hallar la rapidez con la que se está elevando el avión

Relacionamos estos datos con el coseno del ángulo α

Como tenemos un triángulo notable

$\large\boxed{\bold { cos(37)\° = \frac{4}{5} }}$

$\boxed{\bold { cos(37)\° = \frac{ cateto\ adyacente }{hipotenusa } = \frac{BC}{AC} } }$

$\boxed{\bold { cos(37)\° = \frac{ rapidez \ sombra \ avi\'on }{ rapidez \ elevaci\'on \ avi\'on } = \frac{BC}{AC} } }$

$\boxed{\bold { rapidez \ elevaci\'on \ avi\'on = \frac{ rapidez \ sombra \ avi\'on }{ cos(37)\° } } } }$

$\boxed{\bold { rapidez \ elevaci\'on \ avi\'on = \frac{ 300 \ km/h }{ cos(37)\° } } } }$

Si

$\boxed{\bold { cos(37)\° = \frac{4}{5} }}$

$\boxed{\bold { rapidez \ elevaci\'on \ avi\'on = \frac{ 300 \ km/h }{ \frac{4}{5} } } } }$

$\boxed{\bold { rapidez \ elevaci\'on \ avi\'on = 300 \ km/h \ .\ \frac{5}{4} } } }$

$\boxed{\bold { rapidez \ elevaci\'on \ avi\'on = \ .\ \frac{1500 \ km/h }{4} } } }$

$\large\boxed{\bold { rapidez \ elevaci\'on \ avi\'on = 375 \ km/h } }$

Método 2

Hallando el valor de la constante k

La rapidez de la sombra del avión es de 300 km/h

Y es el lado adyacente al ángulo de 37° por lo tanto mide 4k

Planteamos

$\boxed{\bold { rapidez \ sombra \ avi\'on =300 \ km/h= 4k }}$

Despejamos a la constante k

$\boxed{\bold {4 k = 300 \ km/h }}$

$\boxed{\bold { k = \frac{ 300 \ km/h }{4 } }}$

$\boxed{\bold { k = 75 }}$

El valor de la constante k es de 75

La rapidez con la que se está elevando el avión es la hipotenusa del triángulo notable de 37-53

Y al ser la hipotenusa medirá siempre 5k

Planteamos

$\boxed{\bold { rapidez \ elevaci\'on \ avi\'on = 5k }}$

Reemplazamos el valor de la constante k

$\boxed{\bold { rapidez \ elevaci\'on \ avi\'on = 5 \ . \ 75 }}$

Obteniendo

$\large\boxed{\bold { rapidez \ elevaci\'on \ avi\'on = 375 \ km/h } }$