Deseas tener $75,000 en 15 años y quieres depositar al final de cada año una
suma igual en el banco, la cual generará un interés compuesto del 8% anual.
a) ¿Cuánto debes depositar anualmente para acumular esta cantidad?
b) Si en lugar de realizar depósitos anuales, decides depositar la cantidad que en 15
años equivaldrá a $75,000 a una tasa de interés del 8%, ¿Que importe debes
depositar actualmente?
Respuestas
Respuesta:
La respuesta es la letra A
Cada año de debe invertir $1331,57487
¿Qué es interés compuesto?
Interés compuesto: es un tipo de interés en el cual los intereses luego de cada período pasan a formar parte del capital y acumular intereses, El total al realizar una inversión por un monto "a" a una tara de interes "r" dada en un periodo determinado y por n periodos, es:
total = a*(1+r)ⁿ
¿Qué es una progresión geométrica?
Una progresión geométrica es una sucesión que comienza en un número a1 y los siguientes términos se consiguen multiplicando al anterior por una constante llamada razón denotada con la letra r.
El termino nesimo de una progresión geometrica es:
an = a1*rⁿ⁻¹
y la suma de los primeros n términos de una progresión geométrica es:
Sn = (an*r-a1)/(r-1) o también Sn = a1*(rⁿ - 1)/(r - 1)
Cálculo de cantidad a invertir
Si se invierte una cantidad "a" el primer año, entonces esta inversión por 15 años se obtiene a*(1 + 0.08)¹⁵ = a*1.08¹⁵, la que se hace el segundo año obtiene a*1.08¹⁴, la del tercer año a*1.08¹³ asi sucesivamente, la que se hace en 14 años, se obtiene a*1.08¹ al iniciar el año 15
Entonces el total que tiene es la suma de los términos de una progresión geométrica desde a1 = a*1.08 y el útlimo término es a*1.08¹⁵, entonces en total son 15 términos y la raz+on 1.08
S15 = (a*1.08¹⁵*1.08 + a*1.08)/0.08 = $75000
a*1.08¹⁶ + a*1.08 = $6000
a = $6000/(1.08¹⁶ + 1.08)
a = $1331,57487
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