ayuda porfavor
*Si X es distinto de -3/2, simplifique la siguiente expresión : (2 x^3- x^2-6x)/(2x+3 )
*Si f(x) = 5 X2 – 2X + 8 y g(x) = 6X – 4. Determine el valor de g(f(x))
*Un entero de 4 dígitos WXYZ en la cual W, X, Y y Z, cada uno representa un dígito diferente, está formado de acuerdo a la siguiente regla:
1. X = W + Y + Z
2. W = Y + 1
3. Z = W - 5
*Si 6K + 18 = 15. ¿Cuál es el valor de 2K + 6
a) 9 b) 6 c) 5 d) 3 e) - 1/2
Respuestas
Si denotamos por z = (z1,...,zn) y x = (x1,...,xn) y definimos las funciones
fi(x, z) = !n
j=1
aijzj − xi, 1 ≤ i ≤ n,
la matriz (aij )1≤i,j≤n es precisamente la matriz jacobiana de la funci´on F = (f1,...,fn) con
respecto a las variables (z1,...,zn) y, de lo anterior, deducimos que det(DF) != 0 es una
condici´on suficiente para que el sistema defina de forma impl´ıcita a z como funci´on de x.
Esta condici´on tambi´en ser´a esencial en el caso general.
En lo sucesivo, el determinante de la matriz jacobiana de una funci´on f : Rn → Rn se
denotar´a por alguna de las siguientes expresiones:
det Df = Jf = ∂(f1,...,fn)
∂(x1,...,xn) =
"
"
"
"
"
"
"
∂f1/∂x1 ... ∂f1/∂xn
.
.
.
∂fn/∂x1 ... ∂fn/∂xn
"
"
"
"
"
"
"
.
Definici´on. Sean D ⊂ Rm un abierto y f : D ⊂ Rm → Rn. Decimos que f es abierta si f(A)
es abierto para todo A ⊂ D abierto.
Queremos describir las condiciones suficientes para que una funci´on sea abierta pero antes
necesitamos un lema previo.
Lema 4.1.1. Dado a ∈ Rn, denotamos por B a la bola abierta de centro a y radio r. Supon-
gamos que f = (f1,...,fn) : Rn → Rn es una funci´on continua en B tal que existen Difj (x),
para todo x ∈ B, i, j = 1,...,n. Si f(x) != f(a), ∀x ∈ fr(B) y Jf(x) != 0, ∀x ∈ B, entonces
f(B) contiene una bola abierta de centro f(a).
Demostraci´on. Definimos la funci´on g : fr(B) → R por g(x) = (f(x) − f(a)(. Por hip´otesis,
g es continua y g(x) > 0, ∀x ∈ fr(B). Como fr(B) es compacto, existe m = m´ın{g(x) :
x ∈ fr(B)}. Si llamamos T = B(f(a), m/2), bastar´a probar que T ⊂ f(B) para concluir la
prueba.
Dado cualquier y ∈ T, definimos h : B → R por h(x) = (f(x) − y(. Por ser h continua y
B compacto, h alcanza el m´ınimo en B. Por una parte, h(a) = (f(a) − y( < m/2. Por otra
parte, si x ∈ fr(B),
h(x) = (f(x) − y(≥(f(x) − f(a)(−(f(a) − y( > g(x) − m/2 ≥ m/2.
Por tanto, el m´ınimo de h no se alcanza en la frontera, con lo que existe c ∈ B tal que
h(c) = m´ın{h(x) : x ∈ B}, pero tambi´en h2 alcanza el m´ınimo en el punto c.
Como
h2(x) = (f(x) − y(2 = !n
j=1
(fj (x) − yj )
2,
todas las derivadas parciales de h2 se anulan en c. Por tanto,
0 = !n
j=1
2(fj (c) − yj ) · Difj (c), i = 1, . . . , n,
ESPERO AYUDE