Un edificio de 12m de altura proyecta una sombra de 5m a una determinada hora del día ¿
Qué distancia hay desde la sombra y la cima del edificio? *
Distancia: 13 m
O Distancia: 10,9 m
O Distancia: 169 m
Respuestas
Respuesta:
13 m
Explicación paso a paso:
Este problema se puede solucionar a través de las Relaciones Trigonométricas
Solución de Triángulos Rectángulos
Para empezar debemos hacer un triangulo para guiarnos en el proceso
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¦ 12 m
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¦_ _ _5m _
En donde la parte vertical sería el edificio (12 m) y la parte horizontal que sería la sombra (5 m)
Ahora asignamos "nombres" por así decirlo
El edificio sería el lado "r"
La sombra sería el lado "t"
Y la distancia de la sombra a la cima del edificio o sea la hipotenusa sería el lado "u"
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¦ r
¦
¦
¦
¦
¦_ _ _ _t _ _
Y ahora los ángulos
Me imagino que tienes claro que un triangulo rectángulo es aquel triangulo que tiene un ángulo rectángulo (90°)
Y como ese ángulo es opuesto a la hipotenusa será el ángulo "U"
El ángulo opuesto del edificio (o sea donde está la sombra) será el ángulo "R"
El ángulo opuesto de la sombra (o sea la cima del edificio) será el ángulo "T"
¦ T
¦
¦
¦
¦r. u
¦
¦
¦
¦
U. _ _ _ _t _ _ R
Todo esto lo anotamos en una tabla de datos
Ángulo T=. Lado t=5 m
Ángulo U=90°. Lado u=
Ángulo R=. Lado r=12 m
Como te podrás dar cuenta solo estamos anotando los valores conocidos
El problema nos pide hallar la hipotenusa y con nuestra tabla de datos empezamos con las Relaciones Trigonométricas
Para esto solo usaremos 3 de 6 que son
Seno, Coseno y Tangente
Aqui viene la parte difícil mucha atencion
Sen = Cateto Opuesto / Hipotenusa
Cos = Cateto Adyacente / Hipotenusa
Tan = Cateto Opuesto / Cateto Adyacente
Ahora reemplazamos los catetos y la hipotenusa con la Tabla de Datos
Para esto acompañamos las Relaciones Trigonométricas con los ángulos así
(Recuerda que sólo usaremos los ángulos desconocidos ya que es lo primero a hallar para resolver el problema)
Sen T
Cos T
Tan T
Sustituimos los valores
Cateto Opuesto = CO
Cateto Adyacente = CA
Hipotenusa = H
Sen T = CO / H
Sen T = t / u
Cos T = CA / H
Cos T = r / u
Tan T = CO / CA
Tan T = t / r
Hacemos lo mismo con el ángulo R
Sen R = CO / H
Sen R = r / u
Cos R = CA / H
Cos R = t / u
Tan R = CO / CA
Tan R = r / t
Con todo esto comenzamos a solucionar
Recuerda que necesitamos hallar primero los ángulos para dar solución al problema
Elegimos un ángulo desconocido al azar. R
Entonces comenzamos con las ecuaciones
Tan R podríamos comenzar por ahí ya que tiene los datos que conocemos
Tan R = r / t
Sustituimos los valores
Tan R = 12 m / 5 m
Ahora como R es el valor que debemos hallar debemos despejarlo de quien le hace estorbo
O sea Tan
La ecuación quedaría así
R = Tan - 1 (12 / 5)
Esta operación la hacemos en la calculadora y el resultado que nos da sería 67,38
Yo estoy acostumbrado a trabajar con 2 decimales nada mas
R = 67,38°
Como los ángulos no pueden quedar con decimales usamos aproximación de números
3 es un número pequeño así que el número queda como esta
R =~ 67°
Todo lo vamos anotando en nuestra Tabla de Datos
Ángulo T =. Lado t = 5 m
Ángulo U = 90°. Lado u =
Ángulo R =~ 67°. Lado r = 12 m
Nos falta hallar un ángulo más pero para hacerlo ya no usaremos ecuaciones
Recuerda que la suma de todos los ángulos internos de un triangulo debe dar 180°
T = 90° + 67°~ - 180°
T =~23°
Ángulo T =~23° Lado t = 5 m
Ángulo U = 90°. Lado u =
Ángulo R =~ 67°. Lado r = 12 m
Ya hallamos todos los ángulos ahora si podemos dar solución al problema
Revisamos las ecuaciones
Sen T = t / u. Sen R = r / u
Cos T = r / u. Cos R = t / u
Tan T = t / r. Tan R = r / t
Para hallar la hipotenusa (lado u) nos sirven cualquiera de estas
Sen T = t / u. Sen R = r / u
Sen T = t / u. Sen R = r / uCos T = r / u. Cos R = t / u
Tan T = t / r. Tan R = r / t
Seleccionamos una al azar. Cos T
Cos T = r / u
Sustituimos los valores
Cos 23° = 12 m / u
Despejamos u
u = 12 m / Cos 23°
Esta operación la hacemos en la calculadora tal cual
u = 13,03 m
Y listo!! Ya tenemos el problema resuelto
La distancia desde la sombra hasta la cima de la torre es de 13,03 m
Si quieres puedes anular los decimales
ESPERO HAYA SIDO DE MUCHA UTILIDAD!!!
CUIDAOS!!