Encuentra el costo mínimo de una caja rectangular de volumen 110 cm3 cuya parte superior y parte inferior tiene un costo de 9 centavos por cm2 y cuyo lados tienen un costo de 4 centavos por cm2. Hallar el costo mínimo
Respuestas
Tenemos una caja cuyo volumen es 110 cm³ y sabemos que el volumen está dado por:
V = x×y×z
Donde denotaremos:
- x como el ancho de la base
- y como el largo de la base
- z como la altura de la caja
El costo de la parte inferior y superior en centavos es:
9xy+ 9xy → 18xy
El costo de los lados es de:
4(xz + xz + yz + yz) → 8xz + 8yz
El costo de la caja será C = 18xy + 8xz + 8yz sujeto a la restricción x×y×z = 110 cm³. Utilizaremos la técnica de los multiplicadores de Lagrange para encontrar el costo mínimo.
En los problemas de optimización, el método de los multiplicadores de Lagrange es un procedimiento para encontrar los máximos y mínimos de funciones de múltiples variables sujetas a restricciones.
La condición en este caso es g(x,y,z) =xyz-110 y debemos resolver el sistema:
Cx = λgx
Cy = λgy
Cz = λgz
g(x,y,z) = 0
Donde Cx, Cy, Cz, gz, gy, gz son las derivadas parciales de la función de costo y la condición respectivamente. El sistema a resolver será:
18y + 8z = λyz
18x + 8z = λxz
8x + 8y = λxy
110 - xyz = 0
Debido al nivel del problema y a la complejidad, se supone que es trivial encontrar la única solución real al sistema. Esta es:
El costo mínimo será entonces, sustituyendo estos valores en la función de costo:
C = 18xy + 8xz + 8yz
C = 721
C = 722 centavos
R/ El costo mínimo será 7 pesos y 22 centavos, o bien 722 centavos.
*. Los valores fueron calculados de manera exacta usando Octave.
Tenemos una caja cuyo volumen es 110 cm³ y sabemos que el volumen está dado por:
V = x×y×z
Donde denotaremos:
- x como el ancho de la base
- y como el largo de la base
- z como la altura de la caja
El costo de la parte inferior y superior en centavos es:
9xy+ 9xy → 18xy
El costo de los lados es de:
4(xz + xz + yz + yz) → 8xz + 8yz
El costo de la caja será C = 18xy + 8xz + 8yz sujeto a la restricción x×y×z = 110 cm³. Utilizaremos la técnica de los multiplicadores de Lagrange para encontrar el costo mínimo.
En los problemas de optimización, el método de los multiplicadores de Lagrange es un procedimiento para encontrar los máximos y mínimos de funciones de múltiples variables sujetas a restricciones.
La condición en este caso es g(x,y,z) =xyz-110 y debemos resolver el sistema:
Cx = λgx
Cy = λgy
Cz = λgz
g(x,y,z) = 0
Donde Cx, Cy, Cz, gz, gy, gz son las derivadas parciales de la función de costo y la condición respectivamente. El sistema a resolver será:
18y + 8z = λyz
18x + 8z = λxz
8x + 8y = λxy
110 - xyz = 0
Debido al nivel del problema y a la complejidad, se supone que es trivial encontrar la única solución real al sistema. Esta es:
El costo mínimo será entonces, sustituyendo estos valores en la función de costo:
C = 18xy + 8xz + 8yz
C = 721
C = 722 centavos
R/ El costo mínimo será 7 pesos y 22 centavos, o bien 722 centavos.
*. Los valores fueron calculados de manera exacta usando Octave.