Question

Hola, necesito demostrar este Lema:

"La intersección arbitraria de conjuntos inductivos es un conjunto inductivo"

Answer 1

Hola, aquí va la respuesta

         Conjuntos inductivos

Decimos que un subconjunto H ⊆ R es inductivo si se cumple dos propiedades:

• 1 ∈ H

• K ∈ H ⇒ K + 1 ∈ H

Veamos un ejemplo corto,

¿El conjunto de los números reales es inductivo?

Vemos que se cumple la propiedad 1,  ya que el numero 1 si pertenece a los reales, es decir,   1 ∈ R

Dado un numero "K" real,  vemos que K + 1 ∈ R, ya que tenemos la suma de dos reales, que es un real.

Por lo tanto si es inductivo

Lema:  "La intersección arbitraria de conjuntos inductivos es un conjunto inductivo"

                     Demostración

Sean A y B dos conjuntos inductivos de R.  Vamos a probar que su intersección es también un conjunto inductivo, para ver esto debemos verificar las 2 propiedades ya mencionadas

• Como A y B son inductivos, esto quiere decir que 1 ∈ A y  1 ∈ B por lo cual esto implica que  1 ∈ A ∩ B

• Si K ∈ A ∩ B. Por definición de intersección:

A ∩ B= {x/ x ∈ A ∧ x ∈ B}

K ∈ A y K ∈ B

Como A es inductivo y K ∈ A ⇒ K + 1 ∈ A

De manera análoga, Si B es inductiva y K ∈ B ⇒ K + 1 ∈ B

Entonces K + 1 ∈ A ∩ B

Como verificamos la propiedad 1 y 2, entonces  la intersección de conjuntos inductivos es un conjunto inductivo

Saludoss