Un cable parabólico de un puente colgante esta suspendido entre dos torres que distan 400 pies, a una altura de 50 pies sobre la calzada. El cable toca la calzada en su punto medio. Hallar la longitud del cable
Respuestas
Respuesta:
a) Escriba una ecuación para la parábola
b) Nueve cables verticales igualmente espaciados se usan para sostener el puente, encuentre la longitud total de estos soportes.
V(0,10) = vértice (por ser el punto mas bajo)
A(-200,90)
B(200,90)
La ecuación de la parábola en su forma estándar f(x)= (x-h)+k
(h,k) = coordnadas del vértice = (0,10)
como conocemos las coordenadas del vértice, las sustituimos en la ecuación:
f(x)= a(x -h)²+k
f(x)= a(x -0)²+10
para encontrar el valor de a, sustituimos las coordenadas de uno de los puntos conocidos. Utilizaremos el punto B(200,90):
90= a(200 -0)²+10 ⇒
90= a(40000) +10⇒
90-10 = a40000 ⇒
a = 80/40000 ⇒
a =1/500
sustituimos el valor de p en la ecuación:
y = x²/500 + 10 → ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA
Ahora encontraremos la longitud de los nueve cables. Entre el vértice y la torre hay 4 cables y por lo tanto 5 espacios. Entonces, entre cada cable hay:
x = 200/5 = 40 pies
entonces, debemos hallar la longitud de cada cable a una distancia de 40 pies uno del otro.
y(0) = x²/500 + 10 = 0²/500 + 10 = 10 pies = y₁
y(40) = x²/500 + 10 = 40²/500 + 10 = 13.2 pies = y₂
y(80) = x²/500 + 10 = 80²/500 + 10 = 22.8 pies = y₃
y(120) = x²/500 + 10 = 120²/500 + 10 = 38.8 pies = y₄
y(160) = x²/500 + 10 = 160²/500 + 10 = 61.2 pies = y₅
hacia el lado izquierdo del vértice se repiten los mismos valores, por lo tanto:
y(-40) = x²/500 + 10 = -40²/500 + 10 = 13.2 pies = y₆
y(-80) = x²/500 + 10 = -80²/500 + 10 = 22.8 pies = y₇
y(-120) = x²/500 + 10 = -120²/500 + 10 = 38.8 pies = y₈
y(-160) = x²/500 + 10 = -160²/500 + 10 = 61.2 pies = y₉
por lo tanto, la longitud total L de los cables será:
L = y₁ + y₂ + y₃ + y₄ + y₅ + y₆ + y₇ + y₈ + y₉ ⇒
L = 10 + 13.2 + 22.8 + 38.8 + 61.2 + 13.2 + 22.8 + 38.8 + 61.2 ⇒
L = 282 pies = longitud total de los cable
Explicación paso a paso:xd