Question

cuando el ángulo de elevación del sol es de 64°,un poste telefónico que está inclinado un ángulo de 9° en la dirección del sol, hace una sombra de 21 pies sobre el piso, determinante la longitud del poste... Por fa me ayudan es con razones trigonométricas y/o teorema de Pitagoras.... Por favor
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Answer 1

La altura del poste es de aproximadamente 64,557 pies

Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera.  En este caso se trata de un triángulo oblicuángulo.

Para resolver triángulos no rectángulos como el de este problema, emplearemos el teorema del seno- también llamado como ley de senos-

Representamos la situación en un imaginario triángulo acutángulo el cual está conformado por el lado AC (b) que representa la altura del poste inclinado, el lado AB (c) que equivale a la longitud que proyecta la sombra del poste sobre la línea del suelo  y el lado BC (a) que es la proyección del ángulo de elevación al sol.      

Teorema del Seno:

El teorema del seno establece una relación de proporcionalidad existente entre las longitudes de los lados de un triángulo cualquiera con los senos de sus ángulos interiores opuestos.

Dado un triángulo ABC cualquiera con lados a, b y c y con ángulos interiores α, β y γ, siendo estos respectivamente opuestos a los lados,

Entonces se cumple la relación:

$\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( \alpha )} = \frac{b}{ sen(\beta ) } = \frac{c}{sen(\gamma)} }}$

Para aplicar el teorema del seno se necesita conocer dos lados y un ángulo interior opuesto a alguno de estos dos lados, o bien conocer un lado y dos ángulos, donde uno de ellos debe ser el opuesto al lado del que se sabe el valor.

Solución

Hallando el valor del ángulo α  - Para conocer la inclinación del poste

Sucede que el poste al inclinarse en la dirección del sol se inclina 9° en el sentido contrario a las agujas del reloj con respecto a la línea vertical hacia el sol, es decir se inclina hacia la dirección opuesta a su sombra

Se hace la siguiente aclaración dado que es un punto el cual a veces genera confusiones: sobre las dos posibles inclinaciones de un objeto, donde para ambos casos el objeto se aleja de la vertical, pero puede tomar sentidos opuestos

• En la dirección del sol: significa que el objeto está inclinado en dirección contraria a su sombra o se desplaza en un sentido antihorario con respecto a la vertical. En este caso la inclinación que se tenga debe sumarse de 90°

• En la dirección opuesta al sol: significa que el objeto está inclinado en dirección a su sombra o se desplaza en el sentido  de las agujas del reloj con respecto a la vertical. En este caso la inclinación que se tenga debe restarse de 90°

Vamos a calcular la inclinación del poste

Si el poste no se hubiese inclinado formaría un ángulo de 90° con el plano del suelo, en donde para este ejercicio al inclinarse el poste en sentido opuesto a su sombra debemos sumar la inclinación de 9° dada

$\large\boxed {\bold { \alpha = 90\° +\ 9\° = 99\° }}$

Al ángulo de elevación  de 64°dado por enunciado lo denotaremos como β

Si

$\boxed {\bold { \beta = 64\° }}$

Hallando el valor del ángulo γ    

Por enunciado sabemos un valor de los ángulos del triángulo oblicuángulo y hemos hallado al segundo. Vamos a hallar el valor del tercer ángulo del triángulo.

Como la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a dos rectos es decir a 180°

Planteamos

$\boxed {\bold { 180\° = 99\°+ 64\° + \gamma}}$

$\boxed {\bold {\gamma = 180\° - 99\°- 64\° }}$

$\large\boxed {\bold {\gamma = 17\° }}$

Establecemos una relación de proporcionalidad entre los lados y los ángulos del triángulo

$\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( \alpha )} = \frac{b}{ sen(\beta ) } = \frac{c}{sen(\gamma)} }}$

Calculando la altura del poste

Hallando el valor del lado b

$\boxed { \bold { \frac{b}{ sen(\beta ) } = \frac{c}{sen(\gamma)} }}$

$\boxed { \bold { \frac{b}{ sen(64\° ) } = \frac{ 21 \ pies}{sen(17\°) } }}$

$\boxed { \bold { b = \frac{ 21 \ pies \ . \ sen(64\° ) }{sen(17\°) } }}$

$\boxed { \bold { b = \frac{ 21\ pies \ . \ 0,8987940462991 }{ 0,2923717047227 } }}$

$\boxed { \bold { b = \frac{ 18,874674972281\ pies }{0,2923717047227 } }}$

$\boxed { \bold { b \approx 64,557119 \ pies } }}$

$\large\boxed { \bold { b \approx 64,557 \ pies } }}$

La altura del poste es de ≅ 64,557 pies

Se adjunta gráfico para comprender las relaciones entre los ángulos y sus lados planteadas