Question

Demostrar que la ecuación: 9x
2
- 4y
2 – 54x + 8y + 113 = 0 representa una hipérbola. Determine:
a. Centro
b. Focos
c. Vértices

Answer 1

1)Completar cuadrados 1)Completar cuadrados 
9(x2−6x)−4(y2−2y)+113=09(x2−6x)−4(y2−2y)+113=0
9[(x−3)2−9]−4[(y−1)2−1]+113=09[(x−3)2−9]−4[(y−1)2−1]+113=0
9(x−3)2−81−4(y−1)2+4+113=09(x−3)2−81−4(y−1)2+4+113=0
9(x−3)2−4(y−1)2+36=09(x−3)2−4(y−1)2+36=0
 2) Escribir la ecuación en la forma canónica  2) Escribir la ecuación en la forma canónica 
−9(x−3)2+4(y−1)2=36−9(x−3)2+4(y−1)2=36 
−(x−3)24+(y−1)29=1−(x−3)24+(y−1)29=1
 3) Ubicar el centro  3) Ubicar el centro 
Por simple inspección en la fórmula, se ve que la hipérbola es simétrica respecto del punto (3,1) 
 4) Ubicar los vértices  4) Ubicar los vértices 
Están sobre un eje vertical, pues el coeficiente de y2y2 es el positivo.
Si x-3=0 (o sea x=3), y tomará sus valores extremos (y-1)²/9 = 1, o sea 
y-1 = ±3, y = 1±3.
Los vértices son los puntos (3,4) y (3,-2) (el punto medio entre ellos debe ser el centro (3,1)). 
 5) Calcular las asíntotas.  5) Calcular las asíntotas. 
−(x−3)24+(y−1)29=1−(x−3)24+(y−1)29=1
Entonces
y=1±3√1+(x−3)24=1±3(x−3)4√1+4(x−3)2y=1±31+(x−3)24=1±3(x−3)41+4(x−3)2
si |x| >> 1, entonces el segundo término dentro de la raíz es despreciable, y quedan la ecuaciones de dos rectas: 
y=1±(34)(x−3)y=1±(34)(x−3)
Son rectas de pendiente 3434 y −34−34 que pasan por el centro (3,1). SOLUCIÓNa) Centro -> (3,1) 
c) Vértices -> Los vértices son los puntos (3,4) y (3,-2) (el punto medio entre ellos debe ser el centro (3,1)).