Question

Encuentra una función en términos de 'x' para determinar la distancia entre el origen y cualquier punto que se encuentre sobre la recta y= 2x + 3.
¿En qué punto de la recta y= 2x + 3 se minimiza la distancia con el origen?

Answer 1

Sea (x, y) el punto de la recta. La distancia al origen es:

d = √(x² + y²)

Reemplazamos y:

d(x) = √[x² + (2 x + 3)²]; o bien:

d(x) √(5 x² 12 x + 9)

Si una función se minimiza, su cuadrado también (facilita el cálculo del valor mínimo.

d(x)² = 5 x² + 12 x + 3

Derivamos: 2 d(x) . d'(x) = 10 x + 12 = 0 (condición de mínimo o máximo)

x = - 6/5; reemplazamos en d(x)

d(x) = √[5 (- 6/5)² + 12 . (- 6/5) + 9] = 1,34

Te comento que corresponde con la distancia al origen de la recta que se obtiene directamente de:

d = (A x1 + B y1 + C) / √(A² + B²)

Para este caso es (x1, y1) = (0, 0)

d = 3 / √5 = 1,34

Saludos Herminio