Question

longitud de arco de la curva cuáles ecuaciones paramétricas​

Answer 1

Respuesta:

Lo primero que realizamos es un esquema grafico y así podemos intuitivamente encontrar el resultado aproximado.

Sabemos que la longitud de un arco la podemos hallar como:

L = ∫ₐᵇ √1 + [f'(x)]² dx

f(x) = y = x²  ⇒

dy = (x²)'dx ⇒

dy = 2xdx  ⇒  dy/dx = 2x = f'(x)

L = ∫₂⁴ √1 + (2x)² dx

L = ∫₂⁴ √1 + 4x² dx

Para resolver primero calculo la Integral indefinida: ∫√1 + 4x² dx

Primitiva F(x) = Arcsen(2x)/4 + (x√1 + 4x²)/2  ⇒

∫₂⁴√1 + 4x² dx =  Arcsen(2x)/4 + (x√1 + 4x²)/2 ║₂⁴ =

[Arcsen(2×4)]/4 + [4√1 + 4(4)²]/2 -[[Arcsen(2×2)]/4 + [2√1 + 4(2)²]/2 =

Arcsen(8)/4 + 8√65/4 - [Arcsen(4)/4 + 4√17/4 =

Arcsen(8)/4 -  Arcsen(4)/4 + 8√65/4 - 4√17/4

Sabemos que Arcsen(x) = Ln(x + √x² + 1)

Arcsen(8) = Ln(8 + √8² + 1 = Ln(√65 + 8) = 2,7765

Arcsen(4) = Ln(4 + √4² + 1 = Ln(√17 + 4) = 2,0947

⇒  2,7765 -  2,0947 + 8√65 - 4√17/4 =

48,6874/4 = 12,172  ⇒

Longitud del Arco de la Curva = 12,17

Podemos observar en la grafico que el resultado es aproximado.

Las primitivas e igualdades se pueden hallar mediante métodos complejos que es mejor realizarlos en calculadoras de integrales.

Dejo archivo adjunto con esquema grafico.

Saludos!!!

Explicación paso a paso: