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Explicación paso a paso:
Sea una función y = f(x) , a partir de ella se puede definir otra función, y' = f '(x) , llamada "derivada de f(x)", que va a jugar un papel fundamental en todo el Cálculo Infinitesimal, tal como vamos a ir viendo en éste y en posteriores temas.
Pero comencemos por la definición de derivada en un cierto punto, digamos x = xo , de la función y = f(x) es:
suponiendo que este límite exista (en cuyo caso se dice que f es derivable en xo ). A esta cantidad h se la llama "incremento de x", en muchas ocasiones se la suele representar como Dx (recuerde por ejemplo en Física el concepto de "incremento de temperatura", etc.), y puede ser tanto positiva ("incremento positivo") como negativa ("decremento").
(ATENCIÓN: Hemos dado la definición de la derivada en un punto , es decir, f'(xo) , lo cual representa un valor numérico.
EJEMPLO 1: Para la función y = x² , vamos a hallar su derivada en cierto punto x=a.
Según la definición de arriba tendremos:
Observe cómo hemos sustituido en f(a+h) su valor para este ejemplo, (a+h)² , así como en f(a) el valor correspondiente, a². Finalmente tenemos que hallar el consiguiente límite que por regla general suele tener la forma indeterminada 0/0, pero nosotros debemos operar en él para eliminar la indeterminación:
La derivada en el punto x=a de la función x² es 2a. Es decir, por ejemplo:
f ' (2)= 2.2 = 4,
f ' (3)= 2.3 = 6,
f ' (4)= 2.4 = 8,
etc.
Para la función y = x² , podemos decir que existe derivada en todos sus puntos, posteriormente se define la función derivada de y = x² como la función y' = 2 x.
7.2 Función derivada de una función.
En general, las funciones elementales que tratamos en Cálculo poseen derivada en todos sus puntos (salvo quizás en algunos puntos específicos de los que luego hablaremos), por eso dada una función y = f(x) , diremos que su derivada es la función y ' = f '(x).
Es decir, la función derivada de f(x) puede ser calculada mediante el límite:
EJEMPLO 2: Hallar la derivada de la función y = sin x.
Aplicamos la fórmula de arriba para f(x) = sin x.