la región limitada por la grafica y=x^3 , el eje x y x=1/2 , se gira alrededor del eje x. hallar el area de la superficie lateral del solido resultante
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Para resolver el problema estipulado anteriormente por el estudiante donde debemos hallar el área de la superficie lateral del sólido restante para una región limitada por la gráfica y = x3, un eje x y x = 1/2 , que se gira alrededor del eje x.
Ver anexo para la solución.
Espero te Ayude, Saludos.
Ver anexo para la solución.
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la región genera una superficie, y para calcularla, usamos el teorema de Pappus, as la superficie es:
![</span><br />\begin{equation} S = \int_0^{1/2} 2\pi x^3 \sqrt{1 + (3x^2)^2} dx\end{equation}\begin{equation} = 2\pi \int_0^{1/2} x^3 \sqrt{1 + 9x^4} dx\end{equation} </span><br />\begin{equation} S = \int_0^{1/2} 2\pi x^3 \sqrt{1 + (3x^2)^2} dx\end{equation}\begin{equation} = 2\pi \int_0^{1/2} x^3 \sqrt{1 + 9x^4} dx\end{equation}](https://tex.z-dn.net/?f=%3C%2Fspan%3E%3Cbr+%2F%3E%5Cbegin%7Bequation%7D%C2%A0+S+%3D+%5Cint_0%5E%7B1%2F2%7D+2%5Cpi+x%5E3+%5Csqrt%7B1+%2B+%283x%5E2%29%5E2%7D+dx%5Cend%7Bequation%7D%5Cbegin%7Bequation%7D%C2%A0+%3D+2%5Cpi+%5Cint_0%5E%7B1%2F2%7D+x%5E3+%5Csqrt%7B1+%2B+9x%5E4%7D+dx%5Cend%7Bequation%7D)
Hacemos cambio de variables, aquí:![<br />\begin{equation} \begin{split} u = 1 + 9x^4\\ du = 36x^3dx \\ x = 0 \Rightarrow u = 1\\ x = 1/2 \Rightarrow u = 1 + 9(1/2)^4 = 25/16 \end{split}\end{equation}<span> <br />\begin{equation} \begin{split} u = 1 + 9x^4\\ du = 36x^3dx \\ x = 0 \Rightarrow u = 1\\ x = 1/2 \Rightarrow u = 1 + 9(1/2)^4 = 25/16 \end{split}\end{equation}<span>](https://tex.z-dn.net/?f=%3Cbr+%2F%3E%5Cbegin%7Bequation%7D%C2%A0+%5Cbegin%7Bsplit%7D%C2%A0+%C2%A0+u+%3D+1+%2B+9x%5E4%5C%5C%C2%A0+%C2%A0+du+%3D+36x%5E3dx+%5C%5C%C2%A0+%C2%A0+x+%3D+0+%5CRightarrow+u+%3D+1%5C%5C%C2%A0+%C2%A0+x+%3D+1%2F2+%5CRightarrow+%C2%A0u+%3D+1+%2B+9%281%2F2%29%5E4+%3D+25%2F16%C2%A0+%5Cend%7Bsplit%7D%5Cend%7Bequation%7D%3Cspan%3E)
Así que nuestra integral se transforma en:![</span><br />\begin{equation} \begin{split} = 2\pi \int_0^{25/16} (1/36)u^{1/2}du\\ = (\pi/18) \biggr\rvert_0^{25/16}(2/3)u^{3/2}\\ = (\pi/27) (25/16)^{3/2} \end{split}\end{equation} </span><br />\begin{equation} \begin{split} = 2\pi \int_0^{25/16} (1/36)u^{1/2}du\\ = (\pi/18) \biggr\rvert_0^{25/16}(2/3)u^{3/2}\\ = (\pi/27) (25/16)^{3/2} \end{split}\end{equation}](https://tex.z-dn.net/?f=%3C%2Fspan%3E%3Cbr+%2F%3E%5Cbegin%7Bequation%7D%C2%A0+%5Cbegin%7Bsplit%7D%C2%A0+%C2%A0+%3D+2%5Cpi+%5Cint_0%5E%7B25%2F16%7D+%281%2F36%29u%5E%7B1%2F2%7Ddu%5C%5C%C2%A0+%C2%A0+%3D+%28%5Cpi%2F18%29+%5Cbiggr%5Crvert_0%5E%7B25%2F16%7D%282%2F3%29u%5E%7B3%2F2%7D%5C%5C%C2%A0+%C2%A0+%3D+%28%5Cpi%2F27%29+%2825%2F16%29%5E%7B3%2F2%7D%C2%A0+%5Cend%7Bsplit%7D%5Cend%7Bequation%7D)
El último resultado expresa el área lateral formada.
Hacemos cambio de variables, aquí:
Así que nuestra integral se transforma en:
El último resultado expresa el área lateral formada.
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