Question

Considerando que $\delta(x, y)$ es la densidad de masa, medida en unidades de masa por unidad de área, entonces la masa total del objeto delimitado por una región plana $D$ se puede calcular usando la integral doble de la función de densidad de masa sobre la región que define la placa:

$M = \iint_D\:\:\delta(x,y)\:dA.$

El primer momento en relación a "x" se define como la integral $M_y = \iint_D\:\:x\delta(x,y)\:dA.$ De manera similar, el primer momento en el plano "y" es la integral $M_x = \iint_D\:\:y\delta(x,y)\:dA.$

El centro de masa se encuentra desde los primeros momentos. Por tanto, la coordenada "x" del centro de masa viene dada por $\overline{x} = \dfrac{M_y}{M}.$ Y, de manera similar, la coordenada "y" del centro de masa está dada por $\overline{y} = \dfrac{M_x}{M}.$

Sabiendo esto, considere una hoja cuadrada cuyos lados son unitarios, de manera que la región está en el primer cuadrante y dos de sus aristas están en los ejes de coordenadas. Y suponga que la densidad de la hoja está dada por $\delta(x,y) = (2x - y + 1)\:\dfrac{kg}{m^2}$

Haga un boceto de la región $R$ usando el software Geogebra e identifique la ubicación del centro de masa de la hoja, a partir de los cálculos debidos.

Answer 1

Considerando una hoja cuadrada cuyos lados son unitarios en el primer cuadrante entonces:

0 ≤ x ≤ 1

0 ≤ y ≤ 1

y el diferencial de área para coordenadas cartesianas es simplemente:

dA = dxdy

Sabiendo esto, solo resta calcular las integrales que definen las coordenadas del centro de masa:

$M_x =\int _0^1\int _0^1x\left(2x-y+1\right)dxdy$

$M_x=\int _0^1\left(\frac{1}{2}-y\frac{1}{2}+\frac{2}{3}\right)dy$

$\boxed{M_x=\dfrac{11}{12}}$

$M_y=\int _0^1\int _0^1y\left(2x-y+1\right)dx\:dy$

$M_y=\int _0^1y\left(-y+2\right)dy$

$\boxed{M_y=\dfrac{2}{3}}$

$M=\int _0^1\:\int _0^1\:\left(2x-y+1\right)dxdy\\\\M = \int _0^1\left(-y+2\right)dy\\\\\boxed{M=\dfrac{3}{2}}$

$\bar{x}=\dfrac{M_x}{M}=\dfrac{11}{18}$

$\bar{y}=\dfrac{M_y}{M}=\dfrac{4}{9}$

El boceto de la región R se muestra en la figura. El eje "y" se tomó con la dirección hacia abajo y el "x" hacia la derecha. Los colores más amarillos denotan las zonas con mayor densidad de masa y las regiones más azules las de menor intensidad. Se señala con una cruz el centro de masa.

La imagen fue generada con el siguiente código usando Matlab y se generó también en su alternativa libre OCTAVE.

[x,y] = meshgrid(0:0.01:1,0:0.01:1);

z = 2*x - y + 1;

imagesc(0:0.01:1,0:0.01:1,z)

hold on;

plot(11/18,4/9, 'r+', 'MarkerSize', 30, 'LineWidth', 2);