Question

Determine el vertice, punto de corte con el eje y y puntos de corte con el eje x de la función f(x) = -x^2-2x+8
1 Vertice
2 punto de corte eje y
3 punto de corte eje x

Answer 1

1) El vértice está dado por el par ordenado:

$\large\boxed{ \bold{ V( -1,9)}}$

2) Los puntos de corte con el eje y están dados por el par ordenado:

$\large\boxed { \bold{ (0, 8) }}$

3) Los puntos de corte con el eje x están dados por los pares ordenados

$\large\boxed { \bold{ (-4, 0) (2, 0)}}$

Solución

La función que se adjunta describe una parábola de la forma:  

$\boxed{ \bold { ax^2+bx+c}}$

La cual abre hacia abajo porque a<0, por tanto su punto máximo será el vértice de la función.            

1) Hallando el vértice

Sea la función

$\boxed{\bold { f(x)= -x^2-2x+8}}$

El valor máximo de una función cuadrática cóncava hacia abajo ocurre en su vértice y está dado por:

$\boxed{ \bold{ x = - \frac{b}{2a} \ \ \ \ \ \to f \left( - \frac{b}{2a}\right) }}$

Hallaremos luego el valor de:

$\boxed{ \bold{ x = - \frac{b}{2a} }}$

Reemplazando los valores de a y b

$\boxed{ \bold{ x = - \frac{-2}{2 (-1)} }}$                    

$\boxed{ \bold{ x = - \frac{-2}{-2 } }}$

$\boxed{ \bold{ x =- 1 } }}$    

Sustituimos la variable  x  con  -1 en la expresión:    

$\boxed{\bold { f(x)= -x^2-2x+8}}$      

$\boxed{\bold { f(-1)= -1 \ .\ (-1)^2-2\ .\ (-1)+8}}$

$\boxed{\bold { f(-1)= -1 \ .\ (1) \ + \ 2 +8}}$

$\boxed{\bold { f(-1)= -1 \ + \ 2 \ +8}}$

$\boxed{\bold { f(-1)= 9}}$

Concluyendo que el vértice de la parábola se da en el par ordenado:

$\large\boxed{ \bold{V(h, k ) = V( -1,9)}}$

2) Hallando la intersección con el eje Y

Puntos de corte sobre el eje y

En el eje de ordenadas la primera coordenada es cero, por lo que tendremos:

$\boxed { \bold{ f(x) = a\ . \ 0^{2} + b \ .\ 0 + c }}$

$\boxed{\bold { f(x)= -1\ . (0)^2-2(0)+8}}$

$\boxed{\bold { f(x)= 8}}$

Los puntos de corte con el eje y están dados por

$\large\boxed { \bold{ (0, 8) }}$

3) Hallando la intersección con el eje X

Los puntos de corte con el eje x, son las raíces de la ecuación cuadrática

$\textsf{Igualamos la expresi\'on a 0 }$

$\boxed{\bold { -x^2-2x+8 = 0 }}$

$\textsf {Empleamos la f\'ormula cuadr\'atica }$

$\boxed{ \bold{ \frac{ -b\pm \sqrt{ b^2 - 4ac } }{2a} }}$

$\textsf {Sustituimos los valores de a = -1, b =-2 y c = 8 en la f\'ormula }$

$\textsf{Para resolver para x }$

$\boxed{ \bold{x = \frac{ 2 \pm \sqrt{ (- 2)^2 - 4\ . (-1\ . \ 8) } }{2 \ . \ -1} }}$

$\boxed{ \bold{x = \frac{ 2 \pm \sqrt{ 4 + 4\ . \ 8 } }{-2 } }}$

$\boxed{ \bold{x = \frac{ 2 \pm \sqrt{ 4 +32 } }{-2 } }}$

$\boxed{ \bold{x = \frac{ 2 \pm \sqrt{ 36 } }{-2 } }}$

$\boxed{ \bold{x = \frac{ 2 \pm \sqrt{ 6^{2} } }{-2 } }}$

$\boxed{ \bold{x = \frac{ 2 \pm 6 }{-2 } }}$

$\boxed{ \bold{x = \frac{ 1 \pm 3 }{-1 } }}$

$\boxed{ \bold{x = -(1 \pm 3 ) }}$        

$\textsf {La respuesta final es la combinaci\'on de ambas soluciones }$

$\large\boxed{ \bold{ x= -4, 2 }}$

Puntos de corte sobre el eje x

En el eje de abscisas la segunda coordenada es cero, por lo que tendremos:

$\boxed {\bold { ax^{2} + bx +c = 0}}$

Resolviendo la ecuación podemos obtener:

Dos puntos de corte:

$\boxed {\bold { (x_{1} , 0) \ y (x_{2} , 0) }}$    $\textsf{dado que }$  $\boxed{ \bold { b^{2} - 4ac > 0}}$

Luego como hemos hallado $\bold{x_{1} \ y \ x_{2}}$

Los puntos de corte con el eje x están dados por

$\large\boxed { \bold{ (-4, 0) (2, 0)}}$