Respuestas
limitaciones de lógica:
Tomemos un conjunto de axiomas de la aritmética elemental, por ejemplo el de los axiomas de Peano.
Definamos adecuadamente las operaciones de suma y producto. A partir de ahí, podemos llegar a probar
una curiosa propiedad de los números naturales, ya conocida
Axiomas de Peano
A1. 0 es un número natural.
A2. Todo número natural tiene un siguiente.
A3. Dos números naturales con igual siguiente son a su vez iguales.
A4. 0 no es siguiente de ningún número natural.
A5. Un conjunto X que contenga a 0 y que si contiene a n contiene a su siguiente, contiene a todos
los números naturales.
por los griegos: la suma de los n primeros números impares es n2
. Llamemos T a este enunciado:
T: 1 + 3 + 5 + ….. + (2n-1) = n2
Si deseamos probar T, es seguro que debemos apoyarnos para ello en A5, el llamado axioma de inducción,
que reza así
A5: Un conjunto X que contenga a 0 y que si contiene a n contiene a su siguiente, contiene a todos los
números naturales.
No hay escapatoria posible, pues el teorema T está en una rama que parte del tronco A5: se necesita A5
para probar T. Por lo tanto, si del conjunto de axiomas de la aritmética se elimina el A5, del conjunto de
fórmulas válidas en aritmética habrá que eliminar T. Pero T es una fórmula que no carece en absoluto de
sentido; es más, puede comprobarse para todo n, y siempre es cierta. Nunca falla. Es una fórmula
verdadera, pero no demostrable, a menos que A5 se incorpore a los axiomas.
El conjunto de axiomas amputado de A5 se dice que es incompleto, pues no toda fórmula “legal” es
susceptible de ser probada. Cuando toda fórmula verdadera puede ser probada, el sistema de axiomas se
llama completo.
Veamos ahora lo que se entiende por axiomas independientes. Un ejemplo histórico es lo mejor en este
caso, sobre todo si el axioma es tan conocido como éste: “Por un punto exterior a una recta pasa una, y
una sola, paralela a ella.” Euclides y centenares de sus sucesores se esforzaron estérilmente en intentar
demostrarlo a partir del resto de los axiomas de la geometría. A todos les parecía que no era un axioma,
sino un teorema, deducible por tanto de los axiomas. Pero todos estaban equivocados, tal como
demostraron Gauss (1777-1855), Bolyai (1802-1860), Lobachevski (1792-1856) y Riemann (1826-1866).
Era un axioma, y no podía probarse a partir de los otros axiomas. Este hecho se describe matemáticamente