Question

Un poste de 4 m de altura, tiene una argolla donde se amarra un cable de acero y se extiende para pasarlo por un ancla en el suelo y que está ubicada a 3 m del poste, como se ve en la figura. ¿Cuál es el largo del cable?
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Answer 1

La longitud del cable es de 5 metros

Se trata de un problema pitagórico en un triángulo rectángulo.

Donde no es necesario emplear el teorema de Pitágoras para su resolución

Dado que el triángulo rectángulo dado que representa el problema resulta ser lo que se llama un triángulo notable.      

Donde a partir de la proporción de dos de sus lados se puede calcular su tercer lado, como así también sus dos ángulos agudos internos

Pudiendo afirmar que conocidas las dimensiones de sus catetos la hipotenusa que representa el largo del cable será de 5 metros

Se demostrará esta afirmación en el desarrollo del ejercicio

¿Qué son los triángulos notables?

Los triángulos notables son triángulos rectángulos que tienen ciertas características establecidas que permiten encontrar los lados de un triángulo sin utilizar el teorema de Pitágoras o las razones trigonométricas.

Los triángulos notables son figuras geométricas que poseen en sus vértices ángulos notables, por lo tanto las magnitudes de sus lados pueden ser calculadas gracias a dichos ángulos notables y estableciendo una relación entre los lados.

Los triángulos notables utilizan proporciones entre las relaciones de los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo. Los lados de un triángulo no se pueden encontrar si se saben sólo los ángulos del triángulo, pero lo que sí se puede definir son las proporciones que los lados tendrán.  

En estos triángulos se utiliza la letra “k” indicando que es una proporción entre sus lados.

Y esa letra k a la vez es una constante, que conocida permite hallar los lados de un triángulo notable con facilidad

Existen varios triángulos notables muy usados y conocidos y sumamente empleados en la resolución de problemas matemáticos, geométricos y sus relacionados. Pero no es la intención de hablar aquí de ellos.

Sólo mencionaremos el que se relaciona con el problema propuesto.

• El cual dentro de los triángulos notables es el llamado 37-53 (por sus ángulos) o 3-4-5 (por sus lados).

• Este triángulo tiene un ángulo de 37° y otro de 53°, donde el lado opuesto al ángulo de 37° medirá 3k y el lado opuesto al ángulo de 53° medirá 4k y la hipotenusa medirá 5k. Donde k es siempre una constante.

Esto se puede observar en al gráfico adjunto, además del planteo  y resolución del ejercicio.

Representamos la situación en un triángulo rectángulo ABC  el cual está conformado por el lado AB que equivale a la altura del poste, el lado BC que representa la longitud del anclaje en el suelo y el lado AC que es l largo del cable de acero y nuestra incógnita

En donde por lo explicado anteriormente al cateto que representa el poste se le opone un ángulo de 53° y al cateto que representa el anclaje en el suelo se le opone un ángulo de 37°

Y estando sus lados en una relación de 3 y 4, la hipotenusa que equivale al largo del cable medirá 5

Solución

Hallamos el valor de la constante k

Planteamos

$\boxed{\bold {altura\ del \ poste =4 \ metros = 4k }}$

Despejamos a la constante k

$\boxed{\bold { 4k = 4 \ metros }}$

$\boxed{\bold { k = \frac{ 4 \ metros }{4 } }}$

$\boxed{\bold { k = 1 }}$

El valor de la constante k es 1

Aunque no es necesario haremos lo mismo para el otro cateto del cual conocemos su valor

Planteamos

$\boxed{\bold {largo\ del \ anclaje =3 \ metros = 3k }}$

Despejamos a la constante k

$\boxed{\bold { 3k = 3 \ metros }}$

$\boxed{\bold { k = \frac{ 3 \ metros }{3 } }}$

$\boxed{\bold { k = 1 }}$

El valor de la constante k es 1  

Si la hipotenusa que representa el largo del cable está en una proporción de 5k

Planteamos

$\boxed{\bold {largo\ del \ cable = 5k }}$

Reemplazamos a la constante k

$\boxed{\bold {largo\ del \ cable = 5 \ . \ 1 }}$

$\large\boxed{\bold {largo\ del \ cable = 5 \ metros }}$

Verificación

Empleando el teorema de Pitágoras

El teorema de Pitágoras dice que: "En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos"

$\boxed {\bold { hipotenusa^{2} = cateto \ 1^{2} \ + \ cateto \ 2^{2} }}$

$\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} \ + \ b^{2} }}$

Hallando la longitud de la hipotenusa que representa al cable ("c")

En donde los catetos "a" y "b" son las dimensiones del poste y del largo del anclaje respectivamente

$\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} \ + \ b^{2} }}$

Quitamos unidades para facilitación

$\boxed {\bold { c^{2} = 4^{2} \ + \ 3^{2} }}$

$\boxed {\bold { c^{2} = 16 \ + \ 9 }}$

$\boxed {\bold { c^{2} = 25 }}$

$\boxed {\bold { \sqrt{ c^{2} } = \sqrt{25} }}$

$\boxed {\bold { c = \sqrt{25} }}$

$\boxed {\bold { c = \sqrt{5^{2} } }}$

$\large\boxed {\bold { c = 5 \ metros }}$

El largo del cable es de 5 metros