Question

Hallar la ecuación de la parábola con vértice en el origen y la ecuación

de su directriz, sabiendo que su foco es el punto F(0,-3). Bosqueja su

gráfica.​

Answer 1

a) La ecuación de la parábola es:

$\large\boxed{ \bold { y =- \frac{x^{2} }{12} }}$

b) La ecuación de su directriz es:

$\large\boxed {\bold {y = 3}}$

c) Bosqueja su gráfica

La gráfica se encuentra en el adjunto

Solución

a) Hallando la ecuación de la parábola

Como los valores de  x son los mismos empleamos la ecuación de una parábola que se abre hacia arriba o hacia abajo

$\boxed{ \bold { (x-h)^2= 4p\ (y-k) }}$

Hallamos la distancia desde el foco hasta el vértice

Restando de la coordenada y  del vértice de la coordenada  y del foco para hallar p

$\boxed {\bold { p = -3-0 }}$

$\boxed {\bold { p = -3 }}$

Reemplazamos los valores conocidos en la forma: .

$\boxed{ \bold { (x-h)^2= 4p\ (y-k) }}$

$\boxed{ \bold { (x-0)^2= 4 \ . (-3)\ (y-0) }}$

$\boxed{ \bold { x^2=- 12y }}$

$\boxed{ \bold { y = \frac{-x^{2} }{12} }}$        

$\large\boxed{ \bold { y =- \frac{x^{2} }{12} }}$

b) Hallando la ecuación de la directriz

La directriz es una línea recta perpendicular al eje focal o de simetría de la parábola

La ecuación de la directriz para una parábola en el eje y con foco en el origen es y=-p

$\boxed {\bold {y = - p }}$

Luego

La ecuación de la directriz de la parábola es:

$\large\boxed {\bold {y = 3}}$

c) Bosqueja su gráfica

Se agrega como adjunto la gráfica correspondiente

Donde se muestra la directriz en color rojo