Question

Una barra de cobre de longitud d1 se suelda a tope con una de acero de longitud d2. Las barras tienen igual sección transversal circular de radio 3.0 cm. La barra resultante de 50 cm de longitud está perfectamente aislada por su lado lateral. El extremo libre de la barra de cobre se mantiene a 100 °C y el de la barra de acero se mantiene a 10 °C. Si la temperatura en la unión de las barras es 69.15 °C, calcule d1 y d2. (kacero=50.2 W/m.°C, kcobre=385 W/m.°C).

Answer 1

La barra de acero mide 10cm y la barra de cobre mide 40cm.

Explicación paso a paso:

En la barra el flujo de calor es el mismo para los dos tramos:

$P=\frac{A}{l_1}.K_1.\Delta T_1\\P=\frac{A}{l_2}.K_2.\Delta T_2$

Si igualamos ambas expresiones y tomamos en cuenta que los dos tramos tienen la misma sección transversal queda:

$\frac{A}{l_1}.K_1.\Delta T_1=\frac{A}{l_2}.K_2.\Delta T_2\\\\\frac{1}{l_1}.K_1.\Delta T_1=\frac{1}{l_2}.K_2.\Delta T_2\\\\K_1\Delta T_1.l_2=K_2.\Delta T_2.l_1$

Los decrementos de temperatura en cada tramo son:

$\Delta T_2=100\°C-69,15\°C=30,85\°C\\\\\Delta T_1=69,15\°C-10\°C=59,15\°C$

La barra resultante tiene 50cm, por lo que es l1=0,5m-l2. Si reemplazamos l1 en la ecuación y despejamos l2 queda:

$K_1\Delta T_1.l_2=K_2.\Delta T_2.(0,5-l_2)\\\\K_1\Delta T_1.l_2=K_2.\Delta T_2.0,5-K_2.\Delta T_2.l_2\\\\K_1\Delta T_1.l_2+K_2.\Delta T_2.l_2=K_2.\Delta T_2.0,5\\\\l_2=\frac{K_2.\Delta T_2.0,5}{K_1\Delta T_1+K_2.\Delta T_2}\\\\l_2=\frac{385\frac{W}{m\°C}.(100\°C-69,15\°).0,5}{50,2\frac{W}{m\°C}(69,15\°C-10\°C)+385\frac{W}{m\°C}.(100\°C-69,15\°C)}\\\\l_2=0,4m$

Esta es la longitud de la barra de cobre, como la barra resultante tiene 50cm, la barra de acero mide:

$l_1=0,5-l_2=0,5m-0,4m\\\\l_1=0,1m$