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Ejercicios y problemas propuestos
Página 141
Para practicar
Dependencia e independencia lineal. Base y coordenadas
1 Dados estos vectores:
u(1, –3, 2), v (2, 0, 1), w(5, –3, 4), z (–2, 6, – 4)
a) ¿Cuántos de ellos son linealmente independientes?
b) Expresa, si se puede, w como combinación lineal de u y v .
c) Expresa, si se puede, w como combinación lineal de u y z .
d)Calcula m para que el vector t (–1, m, 7) sea combinación lineal de u y v .
a) Como mucho puede haber 3 vectores linealmente independientes.
1
2
3
0
– = 6 ≠ 0 → Hay al menos dos vectores linealmente independientes.
A partir de este menor distinto de cero, buscamos los menores de orden 3 que lo contienen:
1
2
5
3
0
3
2
1
4
0 0
1
2
2
3
0
6
2
1
4
–
– –
–
–
= =
Como todos los menores de orden 3 son iguales a cero:
ran
1
2
5
2
3
0
3
6
2
1
4
– 4
–
–
–
f p = 2 → Hay 2 vectores linealmente independientes.
b) (5, –3, 4) = x (1, –3, 2) + y(2, 0, 1) →
x y
x
x y
2 5
3 3
2 4
– –
+ =
=
+ = * → x = 1, y = 2
w u = + 2v
c) (5, –3, 4) = x (1, –3, 2) + y(–2, 6, – 4) →
x y
x y
x y
2 5
3 6 3
2 4 4
–
– –
–
=
+ =
=
* → No tiene solución, luego no se puede.
d) (–1, m, 7) = x (1, –3, 2) + y(2, 0, 1) →
x y
x m
x y
2 1
3
2 7
–
–
+ =
=
+ = *
Para que tenga solución est sistema, el rango de la matriz ampliada tiene que ser 2:
m
1
3
2
2
0
1
1
7
–
–
= 0 → 3m + 45 = 0 → m = –15
Si m = –15, el vector t es combinación lineal de u y v .
Unidad 4. Vectores en el espacio BACHILLERATO
13
Matemáticas II
2 Comprueba que no es posible expresar el vector x (3, –1, 0) como combinación lineal de u(1, 2, –1) y
v (2, –3, 5).
¿Son linealmente independientes x , u y v ?
x u = + a bv → (3, –1, 0) = a (1, 2, –1) + b (2, –3, 5)
'
a b
a b
a b
A
3 2
1 2 3
0 5
1
2
1
2
3
5
3
1
0
– –
– –
– –
= +
=
= + 4 = f p
Como | A' | = 28 ≠ 0, el sistema es incompatible.
Luego no es posible expresar x como combinación lineal de u y v .
Como ran(A' ) = 3, los tres vectores son linealmente independientes.
3 Comprueba que cualquiera de los vectores a (1, 2, 3), b(2, 1, 3), c (1, 0, 1) puede expresarse
como C.L. de los otros dos.
a b = + x y c → (1, 2, 3) = x (2, 1, 3) + y(1, 0, 1)
x y
x
x y
y
x
y
1 2
2
3 3
3
2
3
–
–
= +
=
= +
=
=
=
4 4 Por tanto: a 2 = b – 3c
De aquí, también obtenemos que: b 2
1 a 2
3 c; c 3
–1 a 3
2 = + = + b
4 Determina m y n para que los siguientes conjuntos de vectores sean linealmente dependientes:
a) u(m, –3, 2), v (2, 3, m), w(4, 6, –4) b) u(3, 2, 5), v (2, 4, 7), w(1, –1, n)
a)
m
2 m
4
3
3
6
2
4
–
–
= – 6m
2 – 24m – 24 = – 6(m
2 + 4m + 4) = – 6(m + 2)2 = 0 → m = –2
Si m = –2, los vectores son linealmente dependientes.
b)
n
3
2
1
2
4
1
5
7
–
= 8n + 5 = 0 → n = 8
–5
Si n = 8
–5 , los vectores son linealmente dependientes.