Un ingeniero mecánico necesita fabricar una pieza de metal en forma de arco de circunferencia cuya longitud externa sea igual a 8 cm. Esta pieza metálica se fijará sobre un soporte, cuya medida de longitud de base es de 6 cm, como se muestra en la Figura (en anexo).
El ingeniero mecánico desea determinar el valor de medición de altura (h) de esta pieza para comprobar si cabe en una máquina. No teniendo tiempo para eso, le pidió a usted, estudiante de Cálculo Numérico, que determinara este valor. Si se propone ayudarlo, determine el valor de la altura.
Con base en esta información, debería:
A) proponer un modelo matemático (ecuación matemática) para la situación problemática presentada. Muestre una justificación para identificar un rango que tiene una raíz única (coherente) de la ecuación presentada.
B) resuelve esta ecuación, usando el método de Newton-Raphson con precisión hasta cuatro decimales.
Respuestas
Se sabe que la pieza de metal es un arco de circunferencia y podemos representar el segmento de esta como te lo adjunto en la figura.
Te he sombreado en azul un triángulo rectángulo que se forma porque el radio que divide una cuerda en 2 partes iguales la corta perpendicularmente.
Sabemos que el cateto opuesto a θ mide 3 y se cumple la relación de que:
R sinθ = 3 (I)
Sabemos también que la longitud del arco de 4 cm es:
θR = 4 de donde R = 4/θ
Sustituyendo en I:
4sinθ = 3θ
4sinθ - 3θ = 0 → Ecuación a RESOLVER NUMÉRICAMENTE
Nota que el rango coherente para θ es desde 0 hasta π/2. Para θ=0 se toma toda la semicircunferencia y para θ=π/2 no se toma nada.
Teniendo en cuenta lo anterior con 0≤θ≤π/2 , tomamos x₀=1.
Usando Newton-Raphson tenemos:
F(θ) = 4sinθ - 3θ
F'(θ) = 4cosθ -3
Paso θ F (θ) |x(i) - x(i-1)|
0 1 0.365884
1 1.4362 -0.34479 0.34479
2 1.2962 -0.03852 0.03852
3 1.2761 -0.00078 0.00078
4 1.2757 0.00000 0.00000
Concluimos que: θ = 1.2757 y por tanto R = 4/θ = 3.135533
Finalmente:
h = R - Rsinθ
h = 3.135533 - 3.135533cos(1.2757)
h = 2.2236
