Question

Decimos que el límite de la función f (x, y) es L cuando (x, y) se acerca a (x0, y0), es decir:

$\lim_{(x,y) \to (x_o,y_o)}\:f(x,y) = L$

Cuando la función de dos variables f (x, y) se aproxima arbitrariamente al número L siempre que el par (x, y) esté lo suficientemente cerca de (x0, y0). Sabiendo esto, pruebe el límite dado a continuación utilizando las propiedades del límite.

$\lim_{(x,y) \to (3,\pi)}\:x^2sen(y) = 0$

Answer 1

¡Es muy sencillo! La función propuesta x²sen(y) es continua para cualquier (x₀,y₀)  por lo que encontrar el valor de su límite para cualquier punto, se reduce simplemente a evaluar la función en el punto. Esta es una de las propiedades fundamentales de los límites ¨El valor del límite de una función continua en un punto es el valor de la función evaluada en el punto¨.

Para el punto en cuestión tenemos que:

$\lim_{(x,y) \to (3,\pi)} x^2\sin(y)=3^2sin(\pi)=0$

Si quieres verlo gráficamente te adjunto la representación del punto. La superficie azul representa la función.

¡Saludos!