Question

En una encuesta realizada a 150 personas, sobre sus preferencias de tres productos A, B y C, se
obtuvieron los siguientes resultados: 82 personas consumen el producto A, 54 el producto B, 50

consumen únicamente el producto A, 30 sólo el producto B, el número de personas que consumen sólo

B y C es la mitad del número de personas que consumen sólo A y C, el número de personas que
consumen sólo A y B es el tripe del número de las que consumen los tres productos y hay tantas
personas que no consumen los productos mencionados como las que consumen sólo C. Determina a)el
número de personas que consumen sólo dos de los productos, b) el número de personas que no consumen ninguno de los tres productos, c) el número de personas que consumen al menos uno de los
tres productos.​

Answer 1

En una encuesta realizada a 150 personas, sobre sus preferencias de tres productos A, B y C, se obtuvieron los siguientes resultados: 82 personas consumen el producto A, 54 el producto B, 50 consumen únicamente el producto A, 30 sólo el producto B, el número de personas que consumen sólo B y C es la mitad del número de personas que consumen sólo A y C, el número de personas que consumen sólo A y B es el triple del número de las que consumen los tres productos y hay tantas personas que no consumen los productos mencionados como las que consumen sólo C. Determina a)el número de personas que consumen sólo dos de los productos, b) el número de personas que no consumen ninguno de los tres productos, c) el número de personas que consumen al menos uno de los tres productos.

Representamos en el diagrama de Venn el problema.

Datos:

Universo: 150 personas

A= 82 personas

B= 54 personas

Solo A= 50 personas

Solo B= 30 personas

Solo B y C= la mitad de sólo A y C

A y B= Triple de la intersección ABC

C= Ninguno

La intersección entre A y C será 2x, ya que es el doble de B y C.

La intersección de A y B será el triple que la de ABC.

Z será la misma cantidad de las personas que no prefirieron ningún producto.

Presentamos nuestras ecuaciones para el producto A:

$50+3y+y+2x=82$

Lo que hicimos fue sumar todo lo que contenía la esfera que representa A...

$4y + 2x = 32$

Simplificamos la ecuación a su mitad:

$\boxed{ \textbf{2y + x = 16}} \checkmark \: primera \: ecuacion$

Para B:

$3y+y+30+x=54$

Aplicamos la propiedad conmutativa:

$4y + x = 54 - 30$

$\boxed{ \textbf{4y + x = 24}} \checkmark \: segunda \: ecuacion$

Restamos la primera ecuación menos la segunda.

$2y+\not{x}=16 \\ \underline{ - 4y - \not{ x}= - 24} \\ - 2y = - 8$

$y = \dfrac{ - 8}{ - 2}$

$\boxed{ \textbf{y = 4}} \checkmark \checkmark$

Sustituimos este valor en alguna de las otras ecuaciones...

$2y+x=16$

$2(4) + x = 16$

$8+x=16$

$x=16-8$

$\boxed{ \textbf{x = 8}} \checkmark \checkmark$

Encontramos el valor de Z

$50+12+30+16+4+8+Z+N= 150$

Sabemos que N es igual a Z.

$50+12+30+16+4+8+2Z= 150$

$120 + 2Z = 150$

$2Z= 150-120$

$Z= \dfrac{30}{2}$

$\boxed{ \textbf{Z=15}} \checkmark \checkmark$

Por lo tanto, hay 15 personas que no consumen los tres productos.

a) el número de personas que consumen sólo dos de los productos

16+12+8= 36 personas

b) el número de personas que no consumen ninguno de los tres productos

15 personas

c) el número de personas que consumen al menos uno de los tres productos.

50+30+Z= 95 personas

Saludos desde El Salvador :3