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Respuesta:
La ecuación de la recta es lineal y la ecuación de la parábola es cuadrática
Explicación paso a paso:
Forma simplificada de la ecuación de la recta
Si se conoce la pendiente m , y el punto donde la recta corta al eje de ordenadas es ( 0, b ) (corresponde a n en la fórmula principal ya vista), podemos deducir, partiendo de la ecuación de la recta de la forma
y − y 1 = m(x − x 1 )
y – b = m(x – 0)
y – b = mx
y = mx + b ecuación lineal
Esta es una segunda forma de la ecuación principal de la recta (se la llama también forma explícita de la ecuación ) y se utiliza cuando se conocen la pendiente y la ordenada al origen (o intercepto), que llamaremos b ( no olvidemos que corresponde a la n en la primera forma de la ecuación principal). También se puede utilizar esta ecuación para conocer la pendiente y la ordenada al origen a partir de una ecuación dada.
En todos los casos, la estructura de la ecuación de la parábola tiene las siguientes características:
Existe solamente una variable al cuadrado (x 2 o bien y 2 ) y otra lineal.
El coeficiente de la variable lineal (4p) (el coeficiente es el 4) representa la proporción del lado recto con respecto de la distancia focal (debemos recordar que la distancia focal es la distancia entre el foco y el vértice).
Pero además de lo anterior, desde el punto de vista de las estructuras algebraicas, la ecuación de la parábola es una ecuación de segundo grado , que puede expresarse en la forma general de ecuaciones de este tipo.
Obtención de la ecuación general de la parábola
Para llegar a dicha expresión o forma general, es necesario desarrollar algebraicamente la forma ordinaria o canónica de la ecuación.
Tomando como ejemplo la forma:
(x – h) 2 = 4p(y – k)
Desarrollando resulta:
x 2 – 2hx + h 2 = 4py – 4pk
x 2 – 2hx + h 2 – 4py + 4pk = 0
Multiplicando la ecuación por un coeficiente “A” con la intención de generalizar, y considerando A ≠ 0 , tendremos:
Ax 2 – 2Ahx + Ah 2 – 4Apy + 4Apk = 0
Reordenando:
Ax 2 – 4Apy – 2Ahx – Ah 2 + 4Apk = 0
Ax 2 – 4Apy – 2Ahx + A(h 2 + 4pk) = 0
Haciendo que los coeficientes de las variables sean:
–4Ap = B
–2Ah = C
A(h 2 + 4pk) = D
Sustituyendo los coeficientes B, C y D en la ecuación, nos queda
Ax 2 + Bx + Cy + D = 0 ecuación cuadrática