Question

Un obrero trabaja en altura, para ello emplea una escalera de aluminio recta de extensión (ver imagen). El pie de la escalera la apoya en el piso a una distancia de 1.7 m de la pared, formando así, un ángulo con respecto al piso de 54.5o, ¿Qué altura (en metros) alcanza el obrero? Y ¿Qué largo tendría la escalera en metros?





(Si el resultado no es entero, escribirlo con tres cifras significativas después del punto decimal y sin especificar las unidades, es decir, colocar el puro número resultante)

Seleccione una:
a. Altura=3.400 m , Largo=2.927 m
b. Altura=2.383 m , Largo=2.927 m
c. Altura=1.21 m , Largo=2.93 m
d. Altura=2.383 m , Largo=8.570 m

Answer 1

La altura que alcanza el obrero es de aproximadamente 2,383 metros

El largo que tendría la escalera es de aproximadamente 2,927 metros

- Opción b-

Se trata de un problema de razones trigonométricas en un triángulo rectángulo.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

Solución:

Representamos la situación en un imaginario triángulo rectángulo ABC el cual está conformado por el lado AB que equivale a la altura que alcanza el obrero, el lado BC que representa la distancia desde el pie de la escalera a la pared y el lado AC que es el largo de la escalera. Cuyo pie forma con la línea del suelo un ángulo de elevación de 54,5°

Donde se pide hallar:

Que altura alcanza el obrero

Que largo tendría la escalera

Esto se puede observar en al gráfico adjunto, además del planteo y resolución del ejercicio.

Conocemos la distancia desde el pie de la escalera a la pared y de un ángulo de elevación de 54,5°

• Distancia desde el pie de la escalera a la pared = 1,7 metros

• Ángulo de elevación = 54,5°

• Debemos hallar la altura que alcanza el obrero y el largo que tendría la escalera

Hallando que altura alcanza el obrero

Si la tangente de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto (lado AB) y el cateto adyacente (lado BC)

Como sabemos el valor del cateto adyacente (lado BC = distancia desde el pie de la escalera hasta la pared), asimismo conocemos un ángulo de elevación de 54,5° y debemos hallar la altura que alcanza el obrero, relacionamos los datos que tenemos con la tangente del ángulo α

Planteamos

$\boxed { \bold { tan(54,5)\° = \frac{cateto \ opuesto }{ cateto \ adyacente } = \frac{AB}{BC} }}$

$\boxed { \bold { tan(54,5)\° = \frac{altura \ del \ obrero }{ distancia\ pie \ escalera \ a \ pared } = \frac{AB}{BC} }}$

$\boxed { \bold { altura \ del \ obrero \ (AB)= distancia \ escalera \ a \ pared \ . \ tan(54,5)\° }}$

$\boxed { \bold { altura \ del \ obrero \ (AB)= 1,7\ metros \ . \ tan(54,5)\° }}$

$\boxed { \bold { altura \ del \ obrero \ (AB)= 1,7 \ metros \ . \ 1,4019482944763 }}$

$\boxed { \bold { altura \ del \ obrero \ (AB)\approx 2,383312 \ metros }}$

$\large\boxed { \bold { altura \ del \ obrero \ (AB)\approx 2,383 \ metros }}$

La altura que alcanza el obrero es de aproximadamente 2,383 metros

Hallando el largo de la escalera

Si el coseno de un ángulo α se define como la razón entre el cateto adyacente (lado BC) y la hipotenusa (lado AC)

Como conocemos el valor del cateto adyacente (lado BC = distancia desde el pie de la escalera hasta la pared), asimismo conocemos un ángulo de elevación de 54,5° y debemos hallar el largo que tendría la escalera, relacionamos los datos que tenemos con el coseno del ángulo α

Planteamos

$\boxed { \bold { cos(54,5)\° = \frac{cateto \ adyacente }{ hipotenusa } = \frac{BC}{AC} }}$

$\boxed { \bold { cos(54,5)\° = \frac{ distancia\ pie \ escalera \ a \ pared }{ largo \ escalera } = \frac{BC}{AC} }}$

$\boxed { \bold { largo \ escalera \ (AC) = \frac{ distancia\ pie \ escalera \ a \ pared }{ cos(54,5)\°} }}$

$\boxed { \bold { largo \ escalera \ (AC) = \frac{ 1,7 \ metros }{ cos(54,5)\°} }}$

$\boxed { \bold { largo \ escalera \ (AC) = \frac{ 1,7 \ metros }{ 0,5807029557109 } }}$

$\boxed { \bold { largo \ escalera \ (AC) \approx2,927486 \ metros }}$

$\large\boxed { \bold { largo \ escalera \ (AC) \approx2,927 \ metros }}$

El largo que tendría la escalera es de aproximadamente 2,927 metros