Question

Una flecha sale de un arco con velocidad de 40.2 m/s a un angulo de 30°
con respecto a la horizontal. Determina: a) el tiempo total de vuelo de la
flecha: b) La altura maxima que alcanza la flecha. c) el alcance horizontal ;
d) El alcance horizontal si la flecha se lanza con la misma velocidad a 60°
con la horizontal.
a) 3.5 s, b) 10 mc) 1 3*10^2 m d) 1.3*10^2 m
a) 5 s b) 9 mc)1.2*10^2 m; d) 1.2*10^2 m
a) 4.5 s b) 15 m c) 1.5*10^2 m d) 1.5*10^2 m
a) 41 s b) 20 m c) 1.4*10^2 m d) 1.4 * 10^2 m

Answer 1

El tiempo de vuelo es de 4,1 segundos. La altura máxima es de 20,61 metros. El alcance del proyectil es de 147,72 metros. (para un ángulo de 30° y/o para un ángulo de 60°)

Procedimiento:

Se trata de un problema de tiro parabólico que consiste en una composición de movimientos en dos dimensiones: uno horizontal sin aceleración, y el otro vertical con aceleración constante hacia abajo, debido a la fuerza de gravedad. Ambos movimientos poseen velocidad inicial y son independientes uno del otro.

Para encontrar la posición del proyectil es esencial establecer un sistema de referencia. En donde la velocidad con que se lanza el proyectil formará un ángulo α con la horizontal, que nos permitirá determinar las componentes x e y recurriendo a las relaciones trigonométricas habituales.

Solución:  

Como se trata de una composición de movimientos en donde ambos son independientes

Hallaremos las componentes vertical y horizontal para una $\bold { V_{0} = 40,2 \ m /s }}$

Velocidad inicial del proyectil sobre el eje y    

$\boxed {\bold { {V_{0y} =V_{0} \ . \ sen \ \theta}}}$

$\boxed {\bold { {V_{0y} = 40,2\ m/ s \ . \ sen \ 30\° }}}$

$\large \textsf{El valor exacto de sen de 30\° es } \bold {\frac{ 1 } { 2 } }}$

$\boxed {\bold { {V_{0y} = 40,2\ m/ s \ . \ \frac{1}{2} }}}$

$\boxed {\bold { {V_{0y} = 20,1\ m/ s }}}$

Velocidad inicial del proyectil sobre el eje x    

$\boxed {\bold { {V_{0x} =V_{0} \ . \ cos \ \theta}}}$

$\boxed {\bold { {V_{0x} = 40,2\ m/ s \ . \ cos \ 30\° }}}$

$\large \textsf{El valor exacto de cos de 30\° es } \bold {\frac{ \sqrt{3} } { 2 } }}$

$\boxed {\bold { {V_{0x} = 40,2\ m/ s \ . \ \frac{\sqrt{3} }{2} }}}$

$\boxed {\bold { {V_{0x} = 40,2\ m/ s \ . \sqrt{3} }}}$

$\boxed {\bold { {V_{0x} = 34,81\ m/ s }}}$

a) Cálculo del tiempo de vuelo de la flecha

El tiempo que tarda el objeto en subir está dado por

$\boxed {\bold {V_{y} \ = \ V_{0y} \ - \ g \ . \ t }}$

Cuando el proyectil alcanza su altura máxima ya no sube más y en ese instante de tiempo su velocidad es cero  $\bold { V_{y} = 0 }}$

$\boxed {\bold {V_{y} = 0 \ = \ V_{0}y \ - \ g \ . \ t_{subida} }}$

$\textsf{Despejando el tiempo que tarda en subir } } }}$

$\large\boxed {\bold {t_{subida} = \frac{V_{0y} }{g} }}$

$\boxed {\bold {t_{subida} = \frac{ 20,1 \ m/s }{9,8 \ m/s^{2} } }}$

$\boxed {\bold {t_{subida} =2,05 \ segundos }}$

$\large\textsf{El tiempo de permanencia en el aire es } } }}$

$\large\boxed {\bold {t_{aire} = 2\ t_{subida} }}$

$\textsf{Reemplazando } } }}$

Si

$\boxed {\bold {t_{subida} = 2,05\ s } }}$

$\boxed {\bold {t_{aire} = 2 \ . \ (2,05 \ s) }}$

$\large\boxed {\bold {t_{aire} = 4,10\ segundos }}$

b) Altura máxima del proyectil

Sabemos que la altura máxima del proyectil se alcanza a la mitad del tiempo de vuelo. Es decir, para:

$\boxed {\bold { t_{hmax} =\frac{t_v }{2 }= \dfrac{4,10\;s}{2}=2,05 \;s }}}$

Se sustituye este valor en la ecuación de la coordenada y para hallar la altura máxima:    

$\boxed {\bold { y_{max} = {V_{0y} \ . \ t_{hmax} \ +\ \frac{g \ . \ t_{hmax}^{2} }{2} }}}$

$\boxed {\bold { y_{max} = 20,10\;m/s \ . \ 2,05\;s \ + \ \frac{-9,8\;m/s^2 \ . \ (2,05\;s)^{2} }{2} }}}$

$\boxed {\bold { y_{max} = {41,205\;m -20,59225\;m }}}$

$\large\boxed {\bold { y_{max} \approx{20,61\;metros }}}$        

c) Hallando el alcance del proyectil

$\boxed {\bold { x =V_{0x} \ . \ t }}$

$\textsf{Reemplazando }$      

$\boxed {\bold { x = 34,81 \ m/s \ . \ 4,10 \ s }}$

$\large\boxed {\bold { x = 142,72 \ metros }}$

d) Calcular el alcance horizontal de la flecha si es lanzada con la misma velocidad a 60° con la horizontal

Se calculó previamente el alcance horizontal del proyectil para un ángulo de 30°

En donde 30° y 60° son ángulos complementarios

Pudiendo afirmar que si calculamos el alcance horizontal con un ángulo de 60° obtendremos el mismo resultado que para un ángulo de 30°

Obteniendo para un ángulo de 30°        

$\large\boxed {\bold { x = 142,72 \ metros }}$

Para un ángulo de 60°

El alcance máximo está dado por

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{( V_{0})^{2} \ . \ sen2\ \theta }{g } }}}$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{40,2^{2} \ . \ sen \ 2 \ .\ (60\°) }{9,8 } }}}$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{1616,03 \ . \ sen (120\°) }{9,8 } }}}$

Se aplica el ángulo de referencia para hallar valores para el primer cuadrante

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{1616,03 \ . \ sen (60\°) }{9,8 } }}}$

$\large \textsf{El valor exacto de sen de 60\° es } \bold {\frac{ \sqrt{3} } { 2 } }}$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{1616,03 \ . \ \frac{\sqrt{3} }{2} }{9,8 } }}}$

Simplificando

$\large\boxed {\bold { H_{max} = x = \ 142,72 \ metros }}}$