Question

Un tractor se mueve con velocidad constante de 5 m/s en línea recta. 1. ¿Qué tipo de movimiento lleva un punto de la cubierta del neumático de una de sus ruedas? 2. Si las ruedas traseras tienen un diámetro 1,60 metros, ¿con qué velocidad angular girarán? 3. ¿Y las ruedas delanteras si su diámetro es de 1 metro? 4. Mientras las ruedas traseras dan una vuelta, ¿cuántas vueltas dan las ruedas delanteras?

Answer 1

1) El movimiento que lleva un punto de la cubierta del neumático de una de sus ruedas es un movimiento circular uniforme (MCU)

2) Las ruedas traseras girarán con una velocidad angular de 6,25 rad/seg

3) Las ruedas delanteras girarán con una velocidad angular de 10 rad/seg

4) Mientras las ruedas traseras dan una vuelta las delanteras dan 1,6 vueltas

Procedimiento:

Se trata de un problema de Movimiento Circular Uniforme (MCU)

El movimiento circular uniforme (MCU) es un movimiento de trayectoria circular en el que la velocidad angular es constante. Esto implica que describe ángulos iguales en tiempos iguales. En él, el vector velocidad no cambia de módulo pero sí de dirección (es tangente en cada punto a la trayectoria)

1) ¿Qué tipo de movimiento lleva un punto de la cubierta del neumático de una de sus ruedas?

Un punto de la cubierta del neumático de las ruedas recorre la misma trayectoria que el tractor. Por tanto la velocidad lineal de un punto de la rueda coincide con la velocidad del tractor

Siendo la velocidad del tractor constante la velocidad lineal de los puntos de las cubiertas luego también lo serán. Donde todos esos puntos que conforman el contorno de la rueda describen una circunferencia, desplazándose por ella a ritmo constante. Describiendo ángulos iguales en tiempos iguales. Esto implica que las características del movimiento son las mismas cada t segundos

Luego se trata de un movimiento circular uniforme (MCU)

2) Si las ruedas traseras tienen un diámetro 1,60 metros, ¿con qué velocidad angular girarán?

La ecuación de velocidad angular está dada por:  

$\boxed {\bold { \omega= \frac{V}{r} }}$

Donde    

${\bold { \omega \ \ \textsf{Velocidad Angular }}$  

${\bold { V= 5 \ m/s \ \ \textsf{Velocidad Lineal }}$

${\bold { r= 0,80 \ m \ \ \textsf{radio }}$

Reemplazando

$\boxed {\bold { \omega_{trasera} = \frac{5 \ m/s}{0,80 \ m} }}$

$\large\boxed {\bold { \omega_{trasera} = 6,25 \ rad/s }}$

3. ¿Y las ruedas delanteras si su diámetro es de 1 metro?

Donde    

${\bold { \omega \ \ \textsf{Velocidad Angular }}$  

${\bold { V= 5 \ m/s \ \ \textsf{Velocidad Lineal }}$

${\bold { r= 0,50 \ m \ \ \textsf{radio }}$

Reemplazando

$\boxed {\bold { \omega_{delantera} = \frac{5 \ m/s}{0,50 \ m} }}$

$\large\boxed {\bold { \omega_{delantera} = 10 \ rad/s }}$

Donde como se ve la rueda delantera al ser más pequeña esta gira más rápido

4) Mientras las ruedas traseras dan una vuelta, ¿Cuántas vueltas dan las ruedas delanteras?

La ecuación de desplazamiento angular está dada por:

$\boxed{ \bold { \theta = \theta_{0} + \omega \ . \ t}}$

Donde

$\boxed{ \bold { \theta \ \ \ \ \ \to \\\ desplazamiento \ angular}}$

$\boxed{ \bold { \theta_{0} \ \ \ \ \to \\\ posici\'on \ inicial}}$

$\boxed{ \bold { \omega \ \ \ \ \ \to \\\ velocidad \ angular}}$

$\boxed{ \bold { t\ \ \ \ \to \\\ \ tiempo}}$

Establecemos las posiciones angulares como:

Posición angular de la rueda delantera:

$\boxed{ \bold { \theta_{delantera} = \omega_{delantera} \ . \ t}}$

Posición angular de la rueda trasera:

$\boxed{ \bold { \theta_{trasera} = \omega_{trasera} \ . \ t}}$

Donde tenemos un sistema de ecuaciones, una para cada rueda, para poder determinar el número de vueltas que da la rueda delantera mientras da una vuelta la rueda trasera del tractor

Luego como conocemos las velocidades angulares de cada rueda dado que las hemos hallado previamente

Y en donde el ángulo de trayectoria de la rueda trasera al dar una vuelta entera equivale a una circunferencia completa, tiene un valor de 2π radianes

$\boxed{ \bold { \theta_{delantera} = \omega_{delantera} \ . \ t}}$

$\boxed{ \bold { \theta_{trasera} = \omega_{trasera} \ . \ t}}$

Sustituimos 2π radianes para la rueda trasera

$\textsf{Quitamos unidades para facilitaci\'on }$

$\boxed{ \bold { \theta_{delantera} = 10 \ . \ t}}$

$\boxed{ \bold { 2\pi = 6,25 \ . \ t}}$

Donde en la segunda ecuación despejamos el tiempo y lo reemplazamos en la primera ecuación para determinar el ángulo con que gira la rueda delantera

$\boxed{ \bold {t = \frac{ 2\pi }{ 6,25 } }}$

$\boxed{ \bold {t = 1,005 \ s }}$

$\boxed{ \bold {t = 1 \ s }}$

$\boxed{ \bold { \theta_{delantera} = 10 \ . \ 1}}$

$\boxed{ \bold { \theta_{delantera} = 10 \ rad}}$

Para hallar el número de vueltas que ha dado la rueda delantera dividimos la posición angular de la rueda delantera entre 2π radianes que es lo que equivale una circunferencia completa, siendo el ángulo recorrido por la rueda trasera

$\boxed{ \bold { N\° \ de \ Vueltas = \frac{10 }{ 2 \ \pi } }}$

Simplificando

$\boxed{ \bold { N\° \ de \ Vueltas = \frac{2 \ . \ 5 }{ 2 \ \pi } }}$

$\boxed{ \bold { N\° \ de \ Vueltas = \frac{5 }{ \pi } }}$

$\large\boxed{ \bold { N\° \ de \ Vueltas = 1,6 }}$