Question

Situación 2
Luego de un sismo reciente, la casa de la familia Cárdenas quedó dañada como
muestra la imagen.
Para reparar y reforzar el muro se necesita levantar una columna en el extremo que da a la calle y colocar una viga horizontal, el costo aproximado es de S/ 2000. Para financiarlo solicitan un préstamo por dicho monto. Obtienen la información de las siguientes entidades:
La entidad “El Emprendedor” ofrece un préstamo de S/ 2000 por un periodo de 18 meses, a una tasa de interés del 20 % anual, capitalizable semestralmente.
La entidad “Tu Apoyo” ofrece un préstamo de S/ 2000 por un periodo de 18 meses, a una tasa de interés del 5 % trimestral, capitalizable trimestralmente.
¿En cuál de las entidades financieras le conviene solicitar el préstamo a la familia Cárdenas? ¿Por qué? Argumenta tu respuesta.

Answer 1

La entidad financiera que ofrece el menor interés para el préstamo es la entidad “El Emprendedor” con un interés de 662 soles.

Tenemos dos entidades financieras posibles y debemos seleccionar una de ellas. Obviamente, seleccionaremos la que tenga el menor interés, ya que es la entidad con la que tendríamos que pagar menos capital por el préstamo.

Cada entidad financiera ofrece un interés compuesto con diferentes condiciones, por lo que debemos calcular el interés compuesto para cada entidad.

El interés compuesto es un interés calculado sobre el capital inicial y también sobre los intereses acumulados de períodos anteriores de un depósito o préstamo. Se calcula como:

$\boxed{I=C\left(\left (1+\dfrac{i}{n}\right)^t-1\right)}$

Donde:

• C es el Capital inicial
• n es la cantidad de periodos de capitalización en un año
• t es el tiempo
• i es el interés anual

Entidad “El Emprendedor”

Para esta entidad tenemos que:

• C = 2000 soles es el Capital prestado a la Familia Cárdenas.
• i = 0.2 es la tasa de interés del 20 % anualmente
• n = 2 es el número de periodos de capitalización en un año. El préstamo es capitalizable semestralmente y un año tiene 2 semestres.
• t = 18 meses = 3 semestres

Sustituyendo y evaluando:

$I=2000\left(\left (1+\dfrac{0.20}{2}\right)^3-1\right)\\\\I=2000\left(\left (1+0.1\right)^3-1\right)\\\\I= 2000\left(1.1^3-1\right)\\\\I=2000\left(1.331-1\right)\\\\I=2000\cdot \:0.331\\\\\boxed{I=662\;soles}$

Entidad “Tu Apoyo”

Para esta entidad tenemos que:

• C = 2000 soles es el Capital prestado a la Familia Cárdenas.
• n = 4 es el número de periodos de capitalización en un año. El préstamo es capitalizable trimestralmente y un año tiene 4 trimestres.

• i = 0.05×4=0.20 Recordamos que la tasa de interés i se expresa en la fórmula como la tasa de interés ANUAL y en el ejercicio te dan el interés TRIMESTRAL. Para expresarlo en interés anual multiplicamos por 4 porque un año tiene 4 trimestres.
• t = 18 meses = 6 trimestres

Sustituyendo y evaluando:

$I=2000\left(\left (1+\dfrac{0.20}{4}\right)^6-1\right)\\\\\\I= 2000\left(\left (1+0.05\right)^6-1\right)\\\\I= 2000( 1.05^6-1)\\\\I = 2000(1.34-1)\\\\I=2000(0.34)\\\\\boxed{I=680\;soles}$

La entidad financiera que ofrece el menor interés para el préstamo es la entidad “El Emprendedor” con un interés de 662 soles.

Answer 2

A la familia Cárdenas le conviene solicita el préstamo en La entidad “El Emprendedor” porque tiene que pagar menos interés, en igual tiempo, con el mismo capital

Explicación paso a paso:

Costo aproximado del préstamo para que la familia Cárdenas pueda reparar su casa es de 2000

Cuando nos dan una tasa capitalizable esto quiere decir que los intereses que se generan durante el primer período se hacen parte del capital para el siguiente periodo, es decir, tenemos un Interés compuesto, cuya expresión para el cálculo del capital final es:

Cf = Ci(1+i)ⁿ

Donde:

Cf: es el capital al final del periodo

Ci: es el capital inicial del préstamo

i: es la tasa de interés a aplicar capitalizable

n: es el periodo que durara el préstamo

Tenemos dos entidades bancarias:

La entidad “El Emprendedor”

Datos:

Ci = 2000

n= 18 meses

i= 20  % anual, capitalizable semestralmente

Debemos unificar el periodo y la tasa a la forma de capitalización

El periodo:

n= 18 meses / 6meses (un semestre tiene seis meses)

n= 3 semestres

La tasa:

La tasa es anual para llevarla a semestral la dividimos entre dos, por un año tiene dos semestres

i = 20/2 = 10% semestral capitalizable semestralmente

i = 0,1 semestral capitalizable semestralmente

Entonces, el Capital  final en esta entidad es:

Cf = 2000 (1+0,1)³

Cf = 2000*1,331

Cf = 2662

La entidad “Tu Apoyo”

Datos:

Ci = 2000

n= 18 meses

i= 5 % trimestral, capitalizable trimestralmente

i = 0,05

Debemos unificar solo el periodo a la forma de capitalización

n = 18 meses / 3 meses (Un trimestre tiene tres meses)

n = 6 trimestres

Entonces, el Capital  final en esta entidad es:

Cf = 2000 (1+0,05)⁶

Cf = 2000*1,34

Cf = 2680

¿En cuál de las entidades financieras le conviene solicitar el préstamo a la familia Cárdenas? ¿Por qué?

Bien, ahora para determinar el monto de interés que la Familia Cárdenas va a apagar en cada Entidad se determina restándole al Capital Final el Capital Inicial:

I = Cf-Ci

Intereses pagados a La entidad “El Emprendedor”

I = 2662 -2000

I = 662

Intereses pagados a La entidad “Tu Apoyo”

I = 2680-2000

I = 680

A la familia Cárdenas le conviene solicita el préstamo en La entidad “El Emprendedor” porque tiene que pagar menos interés (S/662), en igual tiempo, con el mismo capital