Question

Desde un castillo a la orilla del mar, cuya altura es de h=91.4 metros sobre el nivel del mar, se divisa un barco con un ángulo de depresión de θ=51.3o. ¿A qué distancia (en metros) se encontraría el barco de la torre?

Answer 1

La distancia del barco al castillo es de aproximadamente 73,225 metros

Procedimiento:

Se trata de un problema de razones trigonométricas en un triángulo rectángulo.

Las razones trigonométricas de un ángulo son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

Solución:

Representamos la situación en un imaginario triángulo rectángulo ABC el cual está conformado por el lado AB que equivale a la altura del castillo, el lado BC que representa la distancia desde el barco hasta la base del castillo y el lado AC que es la longitud visual desde lo alto del castillo al barco, con un ángulo de depresión de 51,3°

Donde se pide hallar:

A que distancia se encontraría el barco de la torre

Por ser ángulos alternos internos- que son homólogos- se traslada el ángulo de 51,3° al punto C  para facilitar la situación

Por ello se han trazado dos proyecciones horizontales P1 y P2

Esto se puede observar en al gráfico adjunto, además del planteo y resolución del ejercicio.

Conocemos la altura del castillo y de un ángulo de depresión de 45,5°

• Altura del castillo = 91,4 metros

• Ángulo de depresión = 51,3°

• Debemos hallar la distancia entre el barco y el castillo

Si la tangente de un ángulo se define como la razón entre el cateto opuesto (lado AB) y el cateto adyacente (lado BC)

Como sabemos el valor del cateto opuesto (lado AB = altura del castillo), asimismo conocemos un ángulo de depresión de 51,3° y debemos hallar la distancia entre el barco y el castillo, relacionamos los datos que tenemos con la tangente del ángulo

Planteamos

$\boxed { \bold { tan(51,3)\° = \frac{cateto \ opuesto }{ cateto \ adyacente } = \frac{AB}{BC} }}$

$\boxed { \bold { tan(51,3)\° = \frac{altura \ del \ castillo }{ distancia\ del \ barco \ al \ castillo } = \frac{AB}{BC} }}$

$\boxed { \bold {distancia\ del \ barco \ al \ castillo \ ( BC) = \frac{ altura \ del \ castillo }{ tan(51,3)\° } }}$

$\boxed { \bold {distancia\ del \ barco \ al \ castillo \ ( BC) = \frac{ 91,4 \ metros }{ tan(51,3)\° } }}$

$\boxed { \bold {distancia\ del \ barco \ al \ castillo \ ( BC) = \frac{ 91,4 \ metros }{1,2482040363530 } }}$

$\boxed { \bold {distancia\ del \ barco \ al \ castillo \ ( BC) \approx 73,225207 \ metros}}$

$\large\boxed { \bold {distancia\ del \ barco \ al \ castillo \ ( BC) \approx 73,225 \ metros}}$

La distancia del barco al castillo es de aproximadamente 73,225 metros