Question

¿cuál es la opción que muestra el valor de la hipotenusa en el triángulo rectángulo mostrado?

a)5. b)6. c)9. d)10.​

Answer 1

La medida de la hipotenusa es de 10 unidades - Opción d-

Procedimiento:

Dado un triángulo rectángulo

Se pide hallar la medida de la hipotenusa

Luego

Este problema se resuelve empleando el Teorema de Pitágoras

¿De qué se trata del teorema de Pitágoras?  

El Teorema de Pitágoras es un teorema que nos permite relacionar los tres lados de un triángulo rectángulo, por lo que es de enorme utilidad cuando conocemos dos de ellos y queremos hallar el valor del tercero.

Un triángulo rectángulo es aquél en el que uno de sus tres ángulos mide 90 grados, es decir, es un ángulo recto. Está claro que si uno de los ángulos es recto, ninguno de los otros dos puede serlo, pues deben sumar entre los tres 180 grados.  Por lo tanto los dos ángulos restantes son agudos.

En los triángulos rectángulos se distinguen unos lados de otros. Así, al lado mayor de los tres y opuesto al ángulo de 90 grados se le llama hipotenusa, y a los otros dos lados catetos.    

El teorema de Pitágoras dice que: "En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos"

$\boxed {\bold { hipotenusa^{2} = cateto \ 1^{2} \ + \ cateto \ 2^{2} }}$

$\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} \ + \ b^{2} }}$

Solución

Hallando el valor de la hipotenusa

Aplicando teorema de Pitágoras

$\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} \ + \ b^{2} }}$

Podemos reescribir

$\boxed {\bold { (2x)^{2} = (x+1)^{2} \ + \ (2x-2)^{2} }}$

$\boxed {\bold { (x+1)^{2} \ + \ (2x-2)^{2} = (2x)^{2} }}$

$\boxed {\bold { (x+1)^{2} \ + \ (2x-2)^{2} = 4x^{2} }}$

$\boxed {\bold { (x+1)^{2} \ + \ (2x-2)^{2} - 4x^{2} =0 }}$

$\boxed {\bold { (x+1) \ (x+1) \ + \ (2x-2)\ (2x-2) - 4x^{2} =0 }}$

Expandimos (x+1) (x+1)

$\boxed {\bold { x \ . \ x + x \ . \ 1 +\ 1x +1 \ . \1 + \ (2x-2)\ (2x-2) - 4x^{2} =0 }}$

$\boxed {\bold { x^{2} + 2x + 1 + \ (2x-2)\ (2x-2) - 4x^{2} =0 }}$

Expandimos (2x-2) (2x-2)

$\boxed {\bold { x^{2} + 2x + 1 + \ 2x \ . \ (2x)+ 2x \ . -2-2 \ . \ (2x)- 2 \ . -2 - 4x^{2} =0 }}$    

$\boxed {\bold { x^{2} + 2x + 1 + 4x^{2}- 4x - 4x+ 4 -4x^{2} =0 }}$

$\boxed {\bold { x^{2} + 2x + 1 + 4x^{2}- 8x+ 4 -4x^{2} =0 }}$

$\boxed {\bold { x^{2} + 2x + 1 - 8x+ 4 =0 }}$

$\boxed {\bold { x^{2} - 6x+ 5 =0 }}$

Factorizamos

$\boxed {\bold { x^{2} - 6x+ 5 =0 }}$

Considerando la forma  

$\boxed {\bold { ax^{2} +bx+ c =0 }}$

Hallando un par de enteros cuyo producto sea c  y cuya suma sea  b

Para este caso el producto es 5 y la suma -6

Siendo esos números enteros

$\boxed {\bold { -5, -1 }}$

Escribimos en forma factorizada empleando esos números enteros

$\boxed {\bold { (x-5) (x-1) = 0}}$

Donde

$\boxed {\bold { x -5= 0}}$

$\boxed {\bold { x -1= 0}}$

$\boxed {\bold { x = 5}}$

$\boxed {\bold { x = 1}}$  

$\large\textsf{ La soluci\'on final son los valores que hacen a } }}\\\large\bold { (x-5)(x-1) = 0 } \textsf{ verdadero }$

$\large\boxed {\bold { x = 5 ,1 }}$

Consideramos el valor de las dos soluciones para el triángulo rectángulo dado

Tomamos el valor de:

$\boxed {\bold { x = 1}}$

Para la hipotenusa

$\boxed {\bold { 2x } }$       $\textsf{Reemplazando el valor de x }$    $\boxed {\bold { 2 \ . \ 1= 2 } }$

Para un cateto

$\boxed {\bold { x + 1} }$   $\textsf{Reemplazando el valor de x }$   $\boxed {\bold { 1 + 1 = 2 } }$

Para el otro cateto

$\boxed {\bold { 2x - 2} }$ $\textsf{Reemplazando el valor de x }$   $\boxed {\bold { 2 \ . \ 1 -2 = 0 } }$

$\large \textsf{Donde descartamos el valor de x = 1 } } }}$

$\large \textsf{Como soluci\'on no v\'alida } }}$

Tomamos el valor de:

$\boxed {\bold { x = 5}}$

Para la hipotenusa

$\boxed {\bold { 2x } }$       $\textsf{Reemplazando el valor de x }$   $\boxed {\bold { 2 \ . \ 5= 10 } }$

Para un cateto

$\boxed {\bold { x + 1} }$   $\textsf{Reemplazando el valor de x }$   $\boxed {\bold { 5 + 1 = 6 } }$

Para el otro cateto

$\boxed {\bold { 2x - 2} }$ $\textsf{Reemplazando el valor de x }$   $\boxed {\bold { 2 \ . \ 5 -2 = 8 } }$

Concluyendo que para x = 5 la hipotenusa tiene un valor de 10 unidades