Respuestas
Respuesta:
Para generalizar esos conceptos geométricos, observamos el comportamiento de los
vectores del plano. En ℜ 2
tenemos definido el producto escalar usual
(a1,a2) · (b1,b2) = a1 b1 + a2 b2
Es una operación entre dos vectores, cuyo resultado es un escalar (de ahí el nombre
“producto escalar”).
El producto escalar permite reconocer a los vectores ortogonales (“ángulo recto”): dos
vectores son ortogonales si su producto escalar es cero (por ejemplo, (1,3) y (-6,2), etc.)
Observemos las propiedades de esta operación:
Propiedades del producto escalar usual.
1. Conmutativa. u · v = v · u
2. Distributiva. u · ( v + w) = u · v + u · w
3. Reubicación del escalar. α (u · v) = (α u) · v = u · (α v)
4. Definida positiva: v · v ≥ 0, y se da la igualdad v · v = 0 solamente para el vector v = !
0.
Definición: Producto escalar en cualquier espacio. Espacio euclídeo.
Cualquier operación en un espacio vectorial que cumpla las anteriores propiedades, diremos
que es un producto escalar (aunque no se trate del producto escalar usual).
Llamaremos espacio euclídeo a un espacio vectorial dotado de un producto escalar.
El producto escalar se denotará por u · v. También se puede utilizar la notación <u,v>.
Ejemplos de producto escalar.
1. El producto escalar usual en ℜ n
:
(a1,a2,. . . ,an) · (b1,b2,. . . ,bn) = a1 b1 + a2 b2 + . . . + an bn
Explicación paso a paso: