Question

El área de un triángulo es 198m2. Calcula la medida de la base y de la altura sabiendo que la altura es 4 metros menor que la base. ¿Cuál es la ecuación con la que se resuelve el problema?

Answer 1

La ecuación con la que se resuelve el problema planteado está dada por:

$\boxed {\bold { 198= \frac{ x\ . \ (x-4) }{2} }}}$

Donde se ha desarrollado el problema completo para la comprensión del mismo y verificar la aseveración

Solución

Se pide hallar la base y la altura de un triángulo dada su área

En donde se sabe que la altura del triángulo es 4 metros menor que la base

Se debe determinar la ecuación que resuelva el problema

Recordemos que

La fórmula general para calcular el área de un triángulo es el producto de la base por la altura dividida entre dos

$\boxed {\bold { \'Area \ Tri\'angulo= \frac{ Base\ . \ Altura }{2} }}}$

Donde

Llamaremos variable x a su base,

$\large\textsf{Base = x }$

y sabiendo que la altura es 4 metros menor que la base será (x-4)

$\large\textsf{Altura = (x - 4) }$

Conocemos el valor del área del triángulo que es de 198 m²

$\large\textsf{\'Area = 198 }$

Estamos en condiciones de plantear una ecuación que satisfaga al problema

Si

$\boxed {\bold { \'Area \ Tri\'angulo= \frac{ Base\ . \ Altura }{2} }}}$

$\boxed {\bold { 198= \frac{ x\ . \ (x-4) }{2} }}}$

Donde se ha planteado la ecuación con la que se resuelve el problema

Aunque el enunciado no lo pide la desarrollaremos para comprobar que se está en lo cierto

$\textsf{Quitamos unidades para facilitaci\'on }$

$\boxed {\bold { \frac{ x\ . \ (x-4) }{2} = 198 }}}$

$\boxed {\bold { \frac{ x^{2} \ - \ 4x }{2} = 198 }}}$

$\boxed {\bold { x^{2} \ - \ 4x = \ 198 \ . \ 2 }}}$

$\boxed {\bold { x^{2} \ - \ 4x = \ 396 }}}$

$\boxed {\bold { x^{2} \ - \ 4x - \ 396 = 0 }}$

$\large\textsf{Tenemos una ecuaci\'on de segundo grado }$

$\textsf{Empleamos la f\'ormula cuadr\'atica }$

$\boxed{ \bold{ \frac{ -b\pm \sqrt{ b^2 - 4ac } }{2a} }}$

$\textsf {Sustituimos los valores de a = 1, b =-4 y c = -396 }$

$\textsf{Para resolver para x }$    

$\boxed{ \bold{x = \frac{ 4 \pm \sqrt{ ( -4)^2 - 4\ . \ (1 \ . \ -396) } }{2 \ . \ 1} }}$

$\boxed{ \bold{x = \frac{ 4 \pm \sqrt{16- 4\ . \ -396 } }{2 } }}$

$\boxed{ \bold{x = \frac{ 4 \pm \sqrt{16+ 1584 } }{2 } }}$

$\boxed{ \bold{x = \frac{ 4 \pm \sqrt{1600 } }{2 } }}$

$\boxed{ \bold{x = \frac{ 4 \pm \sqrt{40^{2} } }{2 } }}$

$\boxed{ \bold{x = \frac{ 4 \pm40 }{2 } }}$

$\boxed{ \bold{x = 2 \pm20 }}$

$\textsf{La respuesta final es la combinaci\'on de ambas soluciones }$  

$\large\boxed{ \bold{x = 22, - 18 }}$

$\textsf {Se toma el valor positivo de x dado que es una medida de longitud }$

Luego

$\large\textsf{Base = x }$

$\large\textsf{Base = 22 metros }$

$\large\textsf{Altura = (x - 4) }$

$\large\textsf{Altura = (22 - 4) = 18 metros }$

Sabiendo que el área del triángulo es de 198 metros cuadrados

Verificación

$\boxed {\bold { \'Area \ Tri\'angulo= \frac{ Base\ . \ Altura }{2} }}}$

$\textsf{Reemplazando }$

$\boxed {\bold {198m^{2} \ = \frac{ 22 \ m . \ 18 \ m }{2} }}}$

$\boxed {\bold {198m^{2} \ = \frac{ 386 \ m^{2} }{2} }}}$

$\boxed {\bold {198m^{2} \ = {198m^{2} }}}$

Se cumple la igualdad