Dados los conjuntos:
A = {x + 3/3 EN 15 < x < 12}
B = {8; 9; 10; 12}
¿Cuántos elementos tiene el producto cartesiano A x B?
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Respuestas
3.3.1 Definición. Sean A y B conjuntos. Al conjunto formado por todos los pares ordenados de primera componente en A y segunda componente en B, se le denota A x B y se le llama producto cartesiano de A y B. Simbólicamente:
A x B = {(x, y) / x ∈ A ∧ y ∈ B}.
En consecuencia:
(x, y) ∈ A x B ⇔ x ∈ A ∧ y ∈ B
(x, y) ∉ A x B ⇔ x ∉ A ∨ y ∉ B
En particular, siendo R el conjunto de los números reales, se tiene:
R x R = {(x, y) / x ∈R ∧ y ∈ R }.
R x R es el conjunto de todas las parejas de números reales. La representación geométrica de R x R es el plano cartesiano llamado también plano numérico.
Se establece una relación biunívocaentreR x Ry el conjunto de los puntos del plano geométrico, asociándose de esta forma el par ordenado (x, y) con el punto P(x,y).
Ejemplo 1:
Sean A = {1, 2} y B = {3, 4, 5} el producto cartesiano A x B será:
A x B = {(1, 3),(1, 4),(1, 5),(2, 3),(2, 4),(2, 5)}.
Ejemplo 2:
Sean A = {x / x ∈R∧1 < x ≤ 3 },
B = {x / x ∈R∧-2 ≤ x < 2 }.
Su representación geométrica es:
A x B es el conjunto de los puntos interiores al rectángulo PQRS y los puntos que pertenecen a los segmentos PQ y QR.
Ejemplo 3:
Sean A = {x / x ∈N∧1 ≤ x < 4}, B = {x / x ∈R ∧1 ≤ x ≤ 3}.
Representar A x B en el plano cartesiano.
Nota: La definición de producto cartesiano puede generalizarse al producto entre n conjuntos A1, A2,..., An. En este caso, al conjunto formado por todas las n-adas ordenadas (a1, a2,..., an) tales que ai∈ Ai con i = 1, 2,..., n, se llama producto cartesiano de A1, A2,..., An y se denota A1 x A2 x ... x An.
3.3.2 Propiedades del producto cartesiano.
3.3.2.1 A ⊂ X ∧ B ⊂ Y ⇔ A x B ⊂ X x Y.
3.3.2.2 A x B = 0 ⇔ A = 0 ∨ B = 0.
3.3.2.3 A ≠ B ∧ A x B ≠ 0 ⇒ A x B ≠ B x A.
3.3.2.4 A x (B • C) = (A x B)( A x C).
3.3.2.5 A x ( B + C) = (A x B) + ( A x C ).
Demostración de 3.3.2.2:
Suponga que A x B = 0. Razonando por reducción al absurdo, sí A ≠ 0 y B ≠ 0; entonces existen elementos a y b tales que a ∈ A y b ∈ B. Luego la pareja (a,b) ∈ A x B, en contradicción con la hipótesis de que A x B = 0.
Recíprocamente si A = 0, debe ser A x B = 0 pues si se llega a dar que Ax B ≠ 0, existirá (a, b) ∈ A x B entonces a ∈ A en contradicción con la suposición de que A = 0.
Análogamente se razona en el caso de que B = 0.
Demostración de 3.3.2.4: (x, y) ∈ A x (B • C) ⇔ x ∈ A ∧ y ∈ B • C. ⇔ x ∈ A ∧ ( y ∈ B ∧ y ∈ C). ⇔ ( x ∈A ∧ y ∈ B) ∧ (x ∈ A ∧ y ∈ C). ⇔ (x, y) ∈ A x B ∧ (x, y) ∈ A x C. ⇔ (x, y) ∈ (A x B) • (A x C).
damecorona por mientras