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Respuesta:
Circunferencia es el lugar geométrico de los puntos de un plano tales que equidistan de un punto fijo del mismo plano, llamado centro.
Expliquemos brevemente la definición: Sea el centro C = (a, b). Cualquier punto de la circunferencia (P, Q, M, ... ) está a la misma distancia de C (equidista). A esta distancia constante la llamamos radio, r.
Abreviadamente, el lugar geométrico resulta ser el conjunto
C = {PÎ plano tales que d(P,C) = r } [1.1]
Para deducir la ecuación de la circunferencia, expresamos analíticamente la condi
ción [1.1]. Al ser d(P,C) distancia entre dos puntos puede calcularse como:
Enviar
si P(x,y) está en la circunferencia de centro C, entonces Enviar
elevando al cuadrado:Enviar
[1.2]
que es la ecuación general de una circunferencia.
Desarrollando [1.2], se obtiene;
x2-2ax+a2+y2-2by+b2=r2
que se acostumbra dejar en la forma:
x2+y2 +Ax+By+C = 0 [1.3]
habiendo realizado las identificaciones:
A = - 2a B = - 2b C = a2+b2-r2 [1.4]
Si el centro C coincide con el origen de coordenadas, se tiene a = b = 0; y la ecuación [1.2] resulta:
x2+y2 = r2 [1.5]
que es la ecuación reducida de la circunferencia.
Ejemplo de aplicación.
1.- Encontrar el centro y radio del círculo cuya ecuación es
4x2+4y2-12x+40y+77=0
SOLUCIÓN
4(x2-3x)+4(y2 +10y)= -77
(x2-3x)+(y2 +10y)= -77/4
(x2-3x+9/4)+(y2 +10y+25)= -77/4+9/5+25
(x-3/2)2+(y+5)2= 8
Entonces el centro es (3/2, -5) y el radio es Ö8=2Ö2
2.- Deducir una ecuación del círculo que pasa por los puntos (1,5), (-2,3), (2,1). Resuelva de manera analítica y gráfica.
Solución: Sabemos que la ecuación deseada tiene la forma siguiente:
x2+y2+Dx+Ey+F=0
Como los tres puntos dados satisfacen la ecuación del círculo por estar en él, tenemos
1+25+D+5E+F=0
4+9-2D+3E+F=0
4+1+2D-E+F=0
D+5E+F=-26
-2D+3E+F=-13
2D-E+F=-5
Resolviendo el sistema tenemos,
D=-9/5, E=19/5, F=-26/5
Por lo tanto la ecuación del círculo es:
5x2+5y2-9x-19y-26=0
Como los puntos (1,5) y (-2,3) se ubican en el círculo, el segmento de uno a otro es una cuerda del círculo que deseamos.
g Resúmen
Se llama circunferencia al lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro. El radio de la circunferencia es la distancia de un punto cualquiera de dicha circunferencia al centro.
conicas3.jpg
Se llama circunferencia al lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo EnviarEcuación analítica de la circunferencia : Puesto que la distancia entre el centro (a, b) y uno cualquiera de los puntos (x , y)de la circunferencia es constante e igual al radio r tendremos que :
Enviar
pasando la raíz al otro miembro :
x2 + y2 - 2ax - 2by + a2 + b2 - r2 = 0
desarrollando los términos cuadráticos obtenemos que :
si hacemos D = -2a , E = -2b , F = a2 + b2 - r2 tendremos :
Explicación paso a paso: