Question

demostrar por inducción
que n^3-n es múltiplo de 6
ayuda por favor.

Answer 1

Hola, aquí va la respuesta

         Principio de Inducción

Veamos en que consiste este principio muy importante en la matemática. Posee 3 puntos a probar:

• Caso base:  Debemos verificar si este se cumple para el mínimo numero  posible, por lo general es el mínimo natural, es decir n= 1

• Hipótesis inductiva:  Partiendo del caso base, podemos suponer que se cumplirá para un valor mas alejado, es decir para algún "k"

• Tesis inductiva: Si suponemos que se va a cumplir para un "k", entonces con demostrar que se cumple para k + 1, ya tenemos que dicha proposición se cumple para todo natural

Vamos al ejercicio

Demostrar que  n³ - n  es múltiplo de 6,

Caso base:  n= 1

$1^{3} -1= 0$

0 es múltiplo de 6, por lo tanto queda verificado este punto

Hipótesis inductiva:  Supongamos que se cumple para n= k

$k^{3} -k$  es múltiplo de 6

Tesis inductiva: debemos probar que para n= k + 1 es valido

$(k+1)^{3} -(k+1)$

Resolviendo el trinomio

$k^{3} +3k^{2} +3k+1 -k-1$

Agrupamos algunos términos:

$(k^{3} -k)+3k^{2} +3k$

$(k^{3} -k) +3(k^{2} +k)$

Por Hipótesis (k³-k) es múltiplo de 6

Recordemos que, demostrar que n^3-n es múltiplo de 6 es equivalente a demostrar que n^3-n es divisible por 6

Como 3 divide a 6, y ademas, multiplicamos a este 3 por k² +k, el resultado sera un múltiplo de 6

Por lo tanto queda demostrado

Saludoss

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