Question

Hallar el área de un terreno rectangular cuya diagonal mide 80 m y el ángulo que forma con la base es 45°​

Answer 1

El área del terreno es de 3200 metros cuadrados

Procedimiento:

Se pide hallar el área de un terreno rectangular cuya diagonal mide 80 metros y donde el ángulo que forma con la base es de 45°

El terreno rectangular es un rectángulo, en donde si trazamos su diagonal esta queda dividida en dos triángulos rectángulos congruentes

En donde el ancho y el largo del terreno serían los catetos, y la diagonal la hipotenusa del triángulo rectángulo.

Donde para este caso al trazar la diagonal en el rectángulo, por tener un ángulo de 45° este queda dividido en dos triángulos rectángulos notables de 45°. Siendo el terreno rectangular un cuadrado

Donde si hallamos los catetos, o uno, dado que en este caso miden lo mismo, podremos determinar el área del terreno

¿Qué son los triángulos notables?

Los triángulos notables son triángulos rectángulos que tienen ciertas características establecidas que permiten encontrar los lados de un triángulo sin utilizar el teorema de Pitágoras o las razones trigonométricas.

Los triángulos notables son figuras geométricas que poseen en sus vértices ángulos notables, por lo tanto las magnitudes de sus lados pueden ser calculadas gracias a dichos ángulos notables y estableciendo una relación entre los lados.

Los triángulos notables utilizan proporciones entre las relaciones de los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo. Los lados de un triángulo no se pueden encontrar si se saben sólo los ángulos del triángulo, pero lo que sí se puede definir son las proporciones que los lados tendrán.  

En estos triángulos se utiliza la letra “k” indicando que es una proporción entre sus lados.

Y esa letra k a la vez es una constante, que conocida permite hallar los lados de un triángulo notable con facilidad

Existen varios triángulos notables muy usados y conocidos y sumamente empleados en la resolución de problemas matemáticos, geométricos y sus relacionados. Pero no es la intención de hablar aquí de ellos.

Sólo mencionaremos el que se relaciona con el problema propuesto.

• El cual dentro de los triángulos notables es el llamado 45°-45° (por sus ángulos) o 1 - 1 (por sus lados).

• En este triángulo ambos ángulos miden 45°, por lo que los dos catetos medirán igual lo que es decir 1 k, mientras que la hipotenusa medirá √2 k.

• Siendo el único triángulo rectángulo que es isósceles

Esto se puede observar en al gráfico adjunto, además del planteo  y resolución del ejercicio.

Solución

La diagonal del cuadrado, que es la hipotenusa del triángulo rectángulo tiene un valor de 80 metros

Hallamos el valor de la constante k

Si la hipotenusa (c) = diagonal tiene un valor de 80

Planteamos

$\boxed{\bold { k \sqrt{2} = 80 }}$

$\boxed{\bold { k = \frac{ 80 }{\sqrt{2} } }}$

Operamos para quitar la raíz del denominador

$\boxed{\bold { k = \frac{80 }{ \sqrt{2} }\ .\ \frac{ \sqrt{2} }{ \sqrt{2} } } }$

$\boxed{\bold {k = \frac{ 80 \ \sqrt{2} }{ \sqrt{2} \ \sqrt{2} }\ } }$

$\boxed{\bold { k = \frac{ 80 \sqrt{2} }{ \sqrt{2}^{2} }\ } }$

$\boxed{\bold { k= \frac{ 80 \sqrt{2} }{ 2 } } }$

$\boxed{\bold { k= 40 \sqrt{2} } }$

Hallamos el valor de los catetos (lados)

Hallando el valor del cateto a

$\boxed{\bold {a = k \ . \ 1 } }$

Remplazamos a la constante k

$\boxed{\bold { a = 40 \sqrt{2} \ . \ 1 } }$

$\boxed{\bold { a = 40 \sqrt{2} \ metros } }$

Como el cateto a es igual al cateto b

$\boxed{\bold { a = b = 40 \sqrt{2} \ metros } }$

Hallando el área del terreno

Dado que el enunciado habla de un rectángulo emplearemos la fórmula del área de este

$\boxed {\bold {\'Area \ Rect\'angulo = Base \ . \ Altura} }}$

Reemplazamos

Quitamos unidades para facilitación

$\boxed {\bold {\'Area \ Rect\'angulo = 40\sqrt{2} \ . \ 40 \sqrt{2} }}$

$\boxed {\bold {\'Area \ Rect\'angulo = 1600 \ . \ (\sqrt{2} \ . \sqrt{2}) }}$

$\boxed {\bold {\'Area \ Rect\'angulo = 1600 \ . \ \sqrt{2}^{2} }}$

$\boxed {\bold {\'Area \ Rect\'angulo = 1600 \ . \ 2} }}$

$\large\boxed {\bold {\'Area \ Rect\'angulo = 3200 \ m^{2} }}$