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Respuesta:
Existen numerosos resultados sobre la geometr´ıa de los tri´angulos (que de hecho incluye
toda la trigonometr´ıa). Aqu´ı nos limitaremos a recordar los m´as b´asicos.
Cuando se trata con tri´angulos es habitual el convenio de denotar con letras may´usculas
los v´ertices y los ´angulos (la misma letra para el v´ertice y el correspondiente ´angulo). Para
indicar un lado (o lo que mide) se usa la misma letra que la del ´angulo opuesto pero escrita
en min´uscula.
El primer resultado fundamental sobre tri´angulos es el siguiente:
(i) Los tres ´angulos de un tri´angulo siempre suman 180◦
.
Dos conceptos importantes son los de tri´angulos semejantes y tri´angulos congruentes.
Se habla de tri´angulos semejantes cuando tienen los mismos ´angulos y de tri´angulos con-
gruentes cuando, adem´as de tener los mismos ´angulos, tambi´en tienen los mismos lados. En
otras palabras, tri´angulos congruentes tienen la misma forma y tama˜no (coinciden cuando
se superponen), sin embargo tri´angulos semejantes s´olo tienen la misma forma.
(ii) Dos tri´angulos semejantes tienen los lados proporcionales, m´as precisamente si en dos
tri´angulos ABC y A0B0C
0
se dan las igualdades entre ´angulos A = A0
, B = B0
y
C = C
0
, entonces se dan las siguientes relaciones de proporcionalidad entre sus lados:
a
a
0
=
b
b
0
=
c
c
0
.
(Recordar el convenio para la notaci´on de ´angulos y lados). De este resultado se sigue
f´acilmente el Teorema de Thales: si dos semirectas que parten de un punto com´un O se
cortan con un cierto n´umero de rectas paralelas, los segmentos en que quedan divididas
son proporcionales.
Sabemos que el ´area de un tri´angulo es la mitad del producto de la base por la altura,
por tanto dos tri´angulos en los que las bases y alturas midan lo mismo tienen la misma
´area. Este sencillo principio proporciona el siguiente resultado que a veces es muy ´util (si
no, v´ease la demostraci´on del Teorema de Pit´agoras que se da en la p´agina web).
(iii) Si en un tri´angulo ABC desplazamos el v´ertice C paralelamente al lado AB, el ´area de
los tri´angulos que resultan permanece constante.
Los ´angulos y lados de un tri´angulo est´an relacionados. La situaci´on m´as simple se da
cuando el tri´angulo es rect´angulo.
(iv) Teorema de Pit´agoras: En un tri´angulo rect´angulo la suma de los cuadrados de los
catetos coincide con el cuadrado de la hipotenusa, es decir, si el tri´angulo ABC es
rect´angulo en A (A = 90◦
), entonces a
2 = b
2 + c
2
.
Para tri´angulos no rect´angulos las relaciones son m´as complicadas:
(v) Teorema del coseno: En un tri´angulo ABC se tiene la igualdad
a
2 = b
2 + c
2 − 2bc cos A.