La distancia entre dos puntos A y B es de 20km. Los ángulos de elevación de un globo con respecto a dichos puntos son de 58° 20' y 67° 32' ¿a que altura del suelo se encuentran?
Respuestas
Respuesta:
19.2650
Explicación paso a paso:
DATOS:
a1= 58°20'
a2= 67°32'
FORMULA 1:
Tan58°20' = h/x
1.6212 = h/x
h= 1.6212x
FORMULA 2:
Tan67°32'= h/x-20
2.4181=h/x-20
h=48 - 2.4181x
Igualamos las formulas
1.6212x = 48 - 2.4181x
1.6212x + 2.4181x = 48
2.4181xx = 48
x = 48/2.4181x
x=11.8832
Volvemos a utilizar la formula anterior
h=1.6212x
h=(1.6212)(11.8832)
h=19.2650
Explicación paso a paso:
Podría tratarse de un problema, sumamente complicado… Pero, no lo es. Por lo tanto procedemos a aplicar la ley de senos… No sin antes, convertir nuestros grados – minutos a grados decimales.
<A = 58°20′ = 58.3333
<B =67°32′ = 67.5333
Comprobamos el ángulo faltante.
\displaystyle \angle A+\angle B+\angle C=180{}^\circ
\displaystyle \angle C=180{}^\circ -\angle A-\angle B
Sustituyendo valores
\displaystyle \angle C=180{}^\circ -58.33{}^\circ -67.53{}^\circ =54.14{}^\circ
Ahora, tenemos los 3 ángulos completos.
Vamos a calcular el lado a, que sería el lado opuesto al ángulo A
No podríamos aplicar la ley de cosenos, porque nos haría falta un lado forzosamente, por lo tanto recurrimos aplicar la ley de senos.
\displaystyle \frac{a}{senA}=\frac{b}{senB}=\frac{c}{senC}
Tenemos los 20Km que el problema nos da de referencia, y tenemos el ángulo opuesto a ese lado, que es el que encontramos de 54.14°, entonces tomamos esos datos para aplicar la ley de senos, a cualquier otro lado.
\displaystyle \frac{a}{senA}=\frac{c}{senC}
Despejando “a”
\displaystyle a=\frac{c\cdot senA}{senC}
Sustituyendo valores:
\displaystyle a=\frac{20km\cdot sen(58.33{}^\circ )}{sen(54.14{}^\circ )}=21km
Por lo que, el lado a mide 21 kilómetros.
Ahora podemos aplicar la función seno del ángulo 67.53 para obtener el cateto opuesto, que sería nuestra altura.
\displaystyle sen67.53{}^\circ =\frac{h}{20.95km}
despejando h = altura del globo
\displaystyle h=(sen67.53)(21km)=19.40km
Por lo que la altura del globo, es de 19.4 kilómetros aproximadamente (Redondeando).