Question

No entiendo como sacó la solución homogénea; y= x^m

Answer 1

Quizá te estés refiriendo a las ecuaciones diferenciales ordinarias de Cauchy que son de la forma

      $x^n\cdot\dfrac{d^ny}{dx^n}+x^{n-1}\cdot\dfrac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}}+\cdots+x\cdot\dfrac{dy}{dx}+y=0$

Lo único que haces es reemplazar $y=x^m$ y hallar las derivadas sucesivas. Al reemplazar tendrás una ecuación polinómica en la incógnita $m$

Sugiero que revises el libro: Ecuaciones diferenciales 7° Edición - Dennis G. Zill & Michael Culle (pág. 163)