Respuestas
Respuesta:
el sistema
2x + y = 0
−2y + x = 0
cuya soluci´on es (0, 0). El Hessiano es
2 1
1 −2
que es indefinida. Por tanto (0, 0) es un punto de silla.
(b) El gradiente de f(x, y) = x
2 + y
2 + 2xy es ∇f(x, y) = (2x + 2y, 2y + 2x). Los puntos cr´ıticos son los
puntos de la forma y = −x. El Hessiano es
2 2
2 2
que es semidefinido positivo. Las condiciones de segundo orden no permiten clasificar estos puntos
cr´ıticos. Pero, como f(x, y) = (x + y)
2 ≥ 0 y f(x, −x) = 0 vemos que los puntos de la forma (x, −x) son
m´ınimos globales de f .
(c) El gradiente de f(x, y) = e
x cos y
es
∇f(x, y) = (e
x cos y
cos y, −xex cos y
sen y)
Los puntos cr´ıticos son soluci´on del sistema
(cos y) e
x cos y = 0
−x (sen y) e
x cos y = 0
≡
cos y = 0
−x sen y = 0
La primera ecuaci´on implica que
y =
π
2
+ kπ, k = 0, ±1, ±2, . . .
Para esos valores de y, sen y 6= 0, y la segunda ecuaci´on implica que x = 0. Las soluciones son
(0,
π
2
+ kπ) k = 0, ±1, ±2, . . .
El Hessiano es
e
x cos y
cos2 y − sen y − x sen y cos y
− sen y − x sen y cos y −x cos y + x
2
sen2 y
Para x = 0, y =
π
2 + kπ, obtenemos
0 − sen y
− sen y 0
y= π
2 +kπ
cuyo determinante es − sin2
(
π
2 + kπ) = −1 por lo que los puntos cr´ıticos son puntos de silla.