Question

Un mosaico rectangular cuya altura mide el triple del ancho, será recortado en su altura
10 cm, de esta manera su superficie final será de 77 cm2

. ¿Cuál era la superficie inicial del

mosaico?

Answer 1

La superficie inicial del mosaico rectangular era de 147 centímetros cuadrados

                         

Procedimiento:

Se pide hallar la superficie inicial de un mosaico rectangular en donde a este se le recortará en su altura el triple de su ancho en 10 centímetros, obteniendo como superficie final 77 cm²

Recordemos que

Un rectángulo es un polígono con cuatro lados siendo éstos iguales dos a dos. Siendo sus cuatro ángulos interiores rectos, es decir de 90°.

Como el rectángulo tiene los lados iguales dos a dos, su área es el producto de sus dos lados contiguos (a y b)

Pudiendo decir

$\boxed{\bold { \'Area\ Rect\'angulo = Base \ . \ Altura }}$

En donde llamaremos base a lo que se denota como ancho en el enunciado

Llamaremos a nuestra incógnita variable x

Donde el mosaico rectangular recortado tiene

x de Base (Ancho)

y

(3x -10) de Altura

Sabiendo que el mosaico recortado tiene un área de 77 cm²

Planteamos una ecuación que satisfaga el problema

Si

$\boxed{\bold { \'Area\ Rect\'angulo = Base \ . \ Altura }}$

Podemos escribir

$\boxed{\bold { 77 = x \ . \ (3x-10) }}$

$\boxed{\bold { x \ . \ (3x-10) = 77 }}$

$\boxed{\bold { x \ . \ (3x) \ + \ x \ . \ (-10) = 77 }}$

$\boxed{\bold { 3x^{2} \ - 10x= 77 }}$

$\boxed{\bold { 3x^{2} \ - 10x-77 = 0 }}$

$\large\textsf{Obteniendo una ecuaci\'on de segundo grado }$

$\textsf{Empleamos la f\'ormula cuadr\'atica }$

$\boxed{ \bold{ \frac{ -b\pm \sqrt{ b^2 - 4ac } }{2a} }}$

$\textsf {Sustituimos los valores de a = 3, b = -10 y c = -77 }$

$\textsf{Para resolver para x }$

$\boxed{ \bold{x = \frac{ 10 \pm \sqrt{ ( -10)^2 - 4\ . \ (3 \ . \ -77) } }{2 \ . \ 3} }}$

$\boxed{ \bold{x = \frac{ 10 \pm \sqrt{ 100 - 4\ . \ -231 } }{6 } }}$

$\boxed{ \bold{x = \frac{ 10 \pm \sqrt{ 100 + 924 } }{6 } }}$

$\boxed{ \bold{x = \frac{ 10 \pm \sqrt{ 1024 } }{6 } }}$

$\boxed{ \bold{x = \frac{ 10 \pm \sqrt{ 32^{2} } }{6 } }}$

$\boxed{ \bold{x = \frac{ 10 \pm 32 }{6 } }}$

$\boxed{ \bold{x = \frac{ 5 \pm 16 }{3 } }}$

$\large\textsf {La respuesta final es la combinaci\'on de ambas soluciones }$

$\boxed{ \bold{ x= 7, -\frac{11}{3} }}$

$\large\textsf {Tomamos el valor positivo de x dado que es una medida de longitud}$

$\large\boxed{ \bold{ x= 7 }}$

En donde para hallar la superficie inicial del mosaico

Consideramos

Para la base (ancho)

El valor hallado para x

$\large\textsf{Base (Ancho) } \large{\bold { 7 \ cent\'imetros } }}}$

Para la altura

Sabemos que es el triple del Ancho (Base)

$\large\textsf{Altura } \large{\bold { 3 \ . \ 7 \ cm =21 \ cent\'imetros } }}}$

Con estas magnitudes determinamos el área inicial del mosaico rectangular

$\boxed{\bold { \'Area\ Rect\'angulo = Base \ . \ Altura }}$

$\boxed{\bold { \'Area \ Mosaico\ Inicial = Base \ . \ Altura }}$

Reemplazamos

$\boxed{\bold { \'Area \ Mosaico\ Inicial = 7 \ cm \ . \ 21 \ cm }}$

$\large\boxed{\bold { \'Area \ Mosaico\ Inicial =147 \ cm^{2} }}$