1. Determinar en cada caso si la función es inyectiva, sobreyectiva o biyectiva. Justifica tu respuesta
Respuestas
Respuesta:
que a cada elemento del primer conjunto le corresponde un único elemento del segundo conjunto
En la definición formal de función se da el conjunto inicial, denominado dominio, el conjunto final, denominado codominio, y la regla de correspondencia entre ellos. Por ejemplo, en:
f:Nn→↦Ry=f(n)=πn
El dominio es el conjunto de los números naturales,ℕ , el codominio es el conjunto de los números reales, ℝ ,y la regla de correspondencia es f(n)=πn.
El conjunto imagen o recorrido de la función es el subconjunto del codominio formado por los valores que realmente toma la función, una vez se aplica a los elementos del conjunto inicial o dominio. En el caso del ejemplo anterior sería el subconjunto de los reales y que se obtienen al aplicar, a cada número natural n, y=πn.
Dominio, codominio y recorrido de una función
Dominio, codominio y recorrido de una función
En la función de nuestro ejemplo, el dominio es el conjunto formado por todos los números naturales. Aunque en ocasiones se confunden, observa la diferencia entre el codominio, formado por todos los reales, y el recorrido, un subconjunto de este cuyos valores cumplen la regla de correspondencia.
En una función real de variable real el dominio y el codominio (y por tanto el recorrido) son subconjuntos de los números reales
Funciones inyectivas
Una función es inyectiva cuando no hay dos elementos del dominio que tengan la misma imagen. Formalmente:
∀a,b∈Domf , si f(a)= f(b)⇒a=b
Es decir, para cualesquiera dos elementos a y b, pertenecientes al dominio de la función Domf, si sus imágenes f(a) y f(b) son iguales, los elementos son necesariamente iguales.
Función inyectiva y no inyectiva
Inyectiva vs no inyectiva
A la izquierda, una función que asocia a cada persona su altura. A cada elemento del recorrido llega una sola flecha, por lo que la función es inyectiva. A la derecha, la función también asocia a cada persona su altura. En este caso el dominio es ligeramente distinto, y cuenta con una persona más que, curiosamente, tiene la misma altura que el oficinista despreocupado de su peso (1.80m). Como a ese elemento del recorrido llegan dos flechas, la función ya no es inyectiva.
Por tanto, si te piden una demostración de que una función no es inyectiva, puedes hallar dos valores distintos del dominio cuyas imágenes sean iguales. Si las encuentras, la función no es inyectiva.
En el caso de funciones reales, para saber si son inyectivas:
Cuando están dadas mediante una ecuación, podemos utilizar la propia definición. Así, la función f(x)=2·x+1 es inyectiva, pues:
f(a)=2a+1f(b)=2b+1}Si f(a)=f(b)⇒2a+1=2b+1⇒a=b
Por otro lado, la función f(x)=x2 no es inyectiva pues:
f(a)=a2f(b)=b2}Si f(a)=f(b)⇒a2=b2⇒a=±b
Cuando están dadas gráficamente se trata de buscar dos imágenes iguales en la misma. Observa la siguiente ilustración y lo entenderás más claramente:
Gráfica de función inyectiva y otra una no inyectiva
Explicación paso a paso:
Respuesta:
1. Función Inyectiva
2. Función Inyectiva
3. Función Biyectiva
4. Función Sobreyectiva
5. Función Inyectiva
6. Función Sobreyectiva