ES PARA YA! ACUMULATIVO :(
CAMILA AFIRMA QUE LA EXPRESIÓN SE PUEDE FACTORIZAR COMO UNA DIFERENCIA DE CUADRADOS, SIN EMBARGO, SU COMPAÑERO MOISÉS DICE QUE NO ES POSIBLE PORQUE SOLO HAY UN TERMINO QUE TIENE RAÍZ CUADRADA EXACTA. RESPECTO A LA AFIRMACIÓN DE MOISÉS SE PUEDE DECIR QUE,
Respuestas
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Introducción
Una de las claves para factorizar es encontrar patrones entre el trinomio y los factores del trinomio. Aprender a reconocer algunos tipos de polinomios comunes te hará más fácil factorizarlos. El conocimiento de los patrones característicos de los productos especiales — los trinomios que se forman a partir de elevar al cuadrado binomios — provee un atajo para encontrar sus factores.
Cuadrados Perfectos
Los cuadrados perfectos son números que son el resultado de la multiplicación de un número entero con sí mismo o elevado al cuadrado. Por ejemplo 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, y 100 son cuadrados perfectos — provienen de elevar al cuadrado cada número del 1 al 10. Observa que estos cuadrados perfectos también provienen de elevar al cuadrado los números negativos del −1 al −10, como (−1)( −1) = 1, (−2)( −2) = 4, (−3)( −3) = 9, etc.
Un trinomio cuadrado perfecto es un trinomio que resulta de la multiplicación de un binomio por sí mismo o elevado al cuadrado. Por ejemplo, (x + 3)2 = (x + 3)(x + 3) = x2 + 6x + 9. El trinomio x2 + 6x + 9 es un trinomio cuadrado perfecto. Vamos a factorizar este trinomio usando los métodos que ya conocemos.
Ejemplo
Problema
Factorizar x2 + 6x + 9.
x2 + 3x + 3x + 9
Reescribe 6x como 3x + 3x, como 3 • 3 = 9, el último término, y 3 + 3 = 6, el término central.
(x2 + 3x) + (3x + 9)
Agrupa pares de términos.
x(x + 3) + 3(x + 3)
Saca el factor x del primer par, y el factor 3 del segundo par.
(x + 3)(x + 3)
o
(x + 3)2
Saca el factor x + 3.
(x + 3)(x + 3) también puede escribirse como (x + 3)2.
Respuesta
(x + 3)(x + 3) o (x + 3)2
Observa que en el trinomio x2 + 6x + 9, los términos a y c son cuadrados perfectos, como x2 = x • x, y 9 = 3 • 3. También el término central es dos veces el producto de los términos x y 3, 2(3)x = 6x.
Ahora veamos un ejemplo un poco distinto. El ejemplo anterior muestra cómo (x + 3)2 = x2 + 6x + 9. ¿A qué es igual (x – 3)2? Aplicando lo que sabes sobre multiplicación de binomios, encuentras lo siguiente.
(x – 3)2
(x – 3)(x – 3)
x2 – 3x – 3x + 9
x2 – 6x + 9
Observa: ¡(x + 3)2 = x2 + 6x + 9, y (x – 3)2 = x2 – 6x + 9! Aquí 9 puede escribirse como (−3)2, entonces el término centra es 2(−3)x = −6x. Entonces cuando el signo del término central es negativo, el trinomio puede factorizarse como (a – b)2.
Intentemos con otro ejemplo: 9x2 – 24x + 16. Observa que 9x2 es un cuadrado perfecto, porque(3x)2 = 9x2 y que 16 es un cuadrado perfecto, porque 42 = 16. Sin embargo, el término central, –24x es negativo, entonces intenta 16 = (−4)2. En este caso, el término central es 2(3x)( −4) = −24x. Por lo que el trinomio 9x2 – 24x + 16 es un cuadrado perfecto y se factoriza como (3x – 4)2.
También puedes continuar factorizando usando agrupamiento, como se muestra abajo.
Ejemplo
Problema
Factorizar 9x2 – 24x + 16.
9x2 – 12x – 12x + 16
Reescribe −24x como −12x – 12x.
(9x2 – 12x) + (-12x + 16)
Agrupa pares de términos. (Mantén el signo negativo con el 12.)
3x(3x – 4) – 4(3x – 4)
Saca el factor 3x del primer grupo, y el factor −4 del segundo grupo.
(3x – 4)(3x – 4)
o (3x – 4)2
Saca el factor (3x – 4).
(3x – 4)(3x – 4) también puede escribirse como (3x – 4)2.
Respuesta
(3x – 4)2
Observa que si sacas el factor 4 en lugar del −4, el factor 3x – 4 habría sido −3x + 4, que es el opuesto de 3x – 4. Al sacar el factor −4, los factores de la agrupación resultan los mismos, ambos 3x – 4. Necesitamos que esto suceda si vamos a sacar un factor común en el siguiente paso.
El patrón para factorizar trinomios cuadrados perfectos nos lleva a la siguiente regla general.
Trinomios Cuadrados Perfectos
Un trinomio de la forma a2 + 2ab + b2 puede factorizarse como (a + b)2.
Un trinomio de la formaa2 – 2ab + b2 puede factorizarse como (a – b)2.
Ejemplos:
La forma factorizada de 4x2 + 20x + 25 es (2x + 5)2.
La forma factorizada de x2 – 10x + 25 es (x – 5)2.
Ahora vamos a factorizar un trinomio usando la regla anterior. Una vez que has determinado que el trinomio es un cuadrado perfecto, el resto es fácil. Observa que en un trinomio cuadrado perfecto el término c siempre es positivo.
Ejemplo
Problema
Factorizar x2 – 14x + 49.
x2 – 14x + 49
Determina si es un trinomio cuadrado perfecto. El primer término es un cuadrado, porque x2 = x • x. El último término es un cuadrado porque
7 • 7 = 49. También −7 • −7 = 49. Entonces, a = x y b = 7 o −7.
−14x = −7x + −7x
El término medio es −2ab si usamos b = 7, porque −2x(7) = −14x. Es un trinomio cuadrado perfecto.
(x – 7)2
Factoriza como (a – b)2.
Respuesta
(x – 7)2
Puedes, y deberías, multiplicar para comprobar la respuesta. (x – 7)2 = (x – 7)(x – 7) = x2 – 7x – 7x + 49 = x2 – 14x + 49.
Factorizar x2 – 12x + 36
Mostrar/Ocultar Respuesta
Factorizando una Resta de Cuadrados
La resta de dos cuadrados, a2 – b2, también es un producto especial que se factoriza como el producto de dos binomios.
Vamos a factorizar 9x2 – 4 escribiéndolo como un trinomio, 9x2 + 0x – 4. Ahora puedes factorizar este trinomio como lo hemos estado haciendo.
9x2 + 0x – 4 cumple con el estándar de un trinomio, ax2 + bx + c. Ahora factoricemos este trinomio de la misma manera que cualquier otro monomio. Encuentra los factores de ac (9 • −4 = −36) cuya suma sea b, en este caso, 0.
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