Question

Alguien que me pueda ayudar con esta ecuación diferencial de segundo orden. Gracias de ante mano. y" - 4y’ + 4y =2(9x-2)e^2x

Answer 1

1) Resolvamos la EDO homogénea: $y''-4y'+4y=0$ entonces vemos que las raíces de la ecuación asociada es $r=2$ (raíz doble) y por ende la solución es $\boxed{y_c=C_1 e^{2x}+C_2xe^{2x}}$

2) Luego hallemos la solución de toda la EDO con ayuda de Wronskiano

$\left[\begin{matrix} e^{2x}&xe^{2x}\\ 2e^{2x}&(1+2x)e^{2x} \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} u_1'\\ u_2'  \end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix} 0\\2(9x-2)e^{2x} \end{matrix}\right]$


$\left[\begin{matrix} 1&x\\ 2&1+2x\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} u_1'\\ u_2' \end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix} 0\\2(9x-2)\end{matrix}\right]\\ \\ \\ \left[\begin{matrix} 1&x\\ 2&1+2x\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} u_1'\\ u_2' \end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix} 0\\18x-4\end{matrix}\right]\\ \\ \\ u_1'=2x(2-9x)\wedge u_2'=2(9x-2)\\ \\ \\ u_1=2x^2-6x^3\\ \\ u_2=9x^2-4x$

Por ende la solución es
                                      $\boxed{\boxed{y=C_1e^{2x}+C_2xe^{2x}+(3x^3-2x^2)e^{2x}}}$