Question

Utilizar el teorema de Green para calcular el trabajo realizado por la fuerza F sobre una partícula que se mueve, en sentido contrario a las manecillas del reloj, por la trayectoria cerrada C

ayuda por favor

Answer 1

Respuesta:

El teorema de Green relaciona la integral de l´ınea de un campo vectorial

sobre una curva plana con una integral doble sobre el recinto que encierra

la curva. Este tipo de teoremas resulta muy ´util porque, dados un campo vectorial y una curva cerrada simple sobre la cual hay que integrarlo,

podemos elegir la posibilidad m´as simple entre integrar el campo directamente sobre la curva o bien integrar la diferencia de sus derivadas parciales

cruzadas sobre en recinto que delimita la curva. Por otro lado, la relaci´on

as´ı establecida entre la integral de l´ınea sobre una curva y la integral doble

sobre la regi´on interior a ´esta permite a veces obtener informaci´on sobre

una funci´on o su integral en un recinto a partir del comportamiento de la

funci´on sobre la frontera de dicho recinto. Los ejemplos y ejercicios de este

cap´ıtulo ilustrar´an las diversas posibilidades y aplicaciones de este tipo de

resultados, que generalizaremos a integrales sobre superficies en R

3

en los

siguientes cap´ıtulos.

Antes de enunciar el teorema de Green convendr´ıa precisar qu´e entendemos por una curva cerrada simple orientada positivamente. Sabemos ya

que toda curva simple tiene dos posibles orientaciones, y que ´estas son invariantes por reparametrizaciones cuyas funciones de cambio de variables

tiene derivada positiva. Ahora bien, ¿c´omo distinguir entre una y otra orientaci´on? ¿Qu´e hacer para privilegiar y reconocer una de las dos? Hay varios

procedimientos para conseguir esto. Quiz´a el m´as intuitivo sea el siguiente,

que presenta el concepto de normal unitaria exterior a una curva.

Si C es una curva cerrada simple regular a trozos en R

2

, parametrizada

por γ(t) = (x(t), y(t)), el vector normal unitario exterior a C se define por

N(t) = 1

p

x

0(t)

2 + y

0(t)

2

y

0

(t), −x

0

(t)

.

11

114 CAP´ITULO 11. EL TEOREMA DE GREEN

N´otese que N es ortogonal al vector tangente o velocidad de la curva, V (t) =

(x

0

(t), y0

(t)). Consideremos estos vectores sumergidos en R

3

(con coordenada

z = 0). Diremos que C est´a orientada positivamente si el producto vectorial

N × V (que tiene la direcci´on del eje z en este caso) tiene coordenada z

positiva (es decir, N × V apunta hacia arriba) para cada t. Esta definici´on

corresponde intuitivamente a decir que C se recorre en el sentido contrario al

de las agujas del reloj, o bien que si recorremos C con la orientaci´on positiva

entonces N apunta hacia afuera de la regi´on interior a C, y que dicha regi´on

interior queda siempre a mano izquierda seg´un se va recorriendo C.

Otra posibilidad para definir la orientaci´on de una curva cerrada simple

ser´ıa utilizar el n´umero de giros (the winding number); ver el problema 11.17.

Diremos que una curva cerrada simple C ⊂ R

2

es regular a trozos si se

puede parametrizar mediante un camino γ que a su vez puede escribirse como

concatenaci´on γ1 ∗...∗γk de una cantidad finita de caminos γj : [aj , bj ] → R

2

cada uno de los cuales es de clase C

1 y satisface que γ

0

j

(t) 6= 0 para todo

t ∈ [aj , bj ] (en particular, γ podr´a dejar de ser diferenciable en una cantidad

finita de puntos, pero incluso en estos tendr´a derivadas laterales). Para esta

clase de curvas cerradas simples enunciaremos y demostraremos el teorema

de Green.

Teorema 11.1 (de Green) Sea C una curva cerrada simple regular a trozos, positivamente orientada, en el plano R

2

, y sea D la uni´on de la regi´on

interior a C con la propia curva C. Sea F = (P, Q) : D −→ R

2 un campo

vectorial de clase C

1

. Entonces se tiene que

Z

C

P dx + Qdy =

Z

D

∂Q

∂x −

∂P

∂y

Antes de dar una demostraci´on de este importante teorema, veamos algunos ejemplos y aplicaciones del mismo.

Ejemplo 11.2 Integrar el campo F(x, y) = (x, xy) sobre la circunferencia

x

2 + y

2 = 1 recorrida en sentido positivo.

Ejemplo 11.3 Calcular el trabajo realizado por el campo de fuerzas F(x, y) =

(y + 3x, 2y − x) al mover una part´ıcula a lo largo de la elipse 4x

2 + y

2 = 4.

Ejemplo 11.4 Hallar el valor de la integral

Z

C

(5 − xy − y

2

)dx − (2xy − x

2

)dy,

donde C es el borde del cuadrado [0, 1] × [0, 1]